Comme si vous étiez en Prépa ! - Exercice 1

On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + x}} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\left(1 + \frac{1}{2}x \right)} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^1 \, e^{\frac{1}{2}x} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e \, e^{\frac{1}{2}x} - e}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e \left( e^{\frac{1}{2}x} - 1 \right)}{x} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\frac{1}{2}x} - 1 }{x}$$
Or, d'après l'équivalence $$e^X \underset{0}{\sim} 1 + X$$, avec $$X = \dfrac{1}{2}x$$, on a :
$$e^{\frac{1}{2}x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x$$
Donc, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}x - 1 }{x} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}x }{x}$$
Comme $$x \longrightarrow 0$$, cela signifie que $$x \neq 0$$, et de fait il est possible de simplifier par $$x$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{2} }{1} = e \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{2} = e \times \dfrac{1}{2}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{e^{\sqrt{1 + \sin(x)}} - e}{\tan(x)} = \dfrac{e}{2}}}}$$