Limites : en route vers le supérieur

Approximation afine et racine carrée - Exercice 1

30 min
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Soit ff une fonction numérique dérivable sur un intervalle II, et aa un réel appartenant à II.
On considère l'expression fonctionnelle suivante :
f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1+x}
Question 1

Montrer que 1+x∼01+12x\sqrt{1+x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x.

Correction
On sait que f(x)=1+xf(x)=\sqrt{1+x}, et comme f′(x)=121+xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}, on obtient alors 1+a+h=1+a+h 121+a+e(h)\sqrt{1 + a+h} = \sqrt{1 + a} + h \, \dfrac{1}{2\sqrt{1+a}} + e(h). Posons a=0a = 0, dans ce cas, on obtient 1+h=1+h 121+e(h)\sqrt{1 + h} = \sqrt{1} + h \, \dfrac{1}{2\sqrt{1}} + e(h). Or, 1=1\sqrt{1} = 1. Ceci nous donne 1+h=1+h 12+e(h)\sqrt{1 + h} = 1 + h \, \dfrac{1}{2} + e(h). Ainsi, en passant à la limite lorsque h⟶0h \longrightarrow 0, on a donc lim⁡h⟶0e(h)=0\lim_{h \longrightarrow 0} e(h) = 0, et de fait, on trouve que 1+h∼01+12h\sqrt{1 + h} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}h. Finalement, en posant h=xh=x, on trouve que : 1+x∼01+12x\sqrt{1 + x} \underset{0}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}x.

Question 2

Calculer lim⁡x⟶0+1+x−xx\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

Correction
On a :
lim⁡x⟶0+1+x−xx=lim⁡x⟶0+1+12x−xx=lim⁡x⟶0+xx1x+12x−11=lim⁡x⟶0+(1x+12x−1)=lim⁡x⟶0+1x+12lim⁡x⟶0+1x−lim⁡x⟶0+1=+∞+12×0+−1=+∞−1\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x} - 1}{1} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2}\sqrt{x} - 1\right) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{2} \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} -\lim_{x \longrightarrow 0^+} 1 = + \infty + \dfrac{1}{2} \times 0^+ - 1 = +\infty - 1
Finalement, on trouve que :
lim⁡x⟶0+1+x−xx=+∞\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = +\infty
Question 3

Calculer lim⁡x⟶0−1+x−xx\lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

Correction
On a :
lim⁡x⟶0−1+x−xx=ϕ\lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \phi
En effet, lorsque x⟶0−x \longrightarrow 0^- cela signifiie que x<0x<0, et de fait le terme x\sqrt{x} n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.
Question 4

Calculer lim⁡x⟶+∞x+x+xx+1\lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}

Correction
On a :
lim⁡x⟶+∞x+x+xx+1=lim⁡x⟶+∞xx1+xx+11+1x=lim⁡x⟶+∞1+1x+11+1x=lim⁡x⟶+∞1+1x+11+(1x)2\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{x}}{x}} + 1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}} + 1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}} = \lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}} + 1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}}
Posons alors X=1xX = \dfrac{1}{\sqrt{x}}, comme x⟶+∞x \longrightarrow + \infty cela implique que X⟶0+X \longrightarrow 0^+. On obtient alors :
lim⁡x⟶+∞x+x+xx+1=lim⁡X⟶0+1+X+11+X2=lim⁡X⟶0+1+12X+11+12X2=lim⁡X⟶0+2+12X1+12X2=lim⁡X⟶0+4+X2+X2=lim⁡X⟶0+4+02+02\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{\sqrt{1 + X} + 1}{\sqrt{1+X^2}} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}X + 1}{1+\dfrac{1}{2}X^2} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{2 + \dfrac{1}{2}X}{1+\dfrac{1}{2}X^2} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{4 + X}{2+X^2} = \lim_{X \longrightarrow 0^+} \dfrac{4 + 0}{2+0^2}
Finalement, on trouve que :
lim⁡x⟶+∞x+x+xx+1=2\lim_{x \longrightarrow + \infty} \dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = 2