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Les équations irrationnelles - Exercice 2

10 min
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Question 1

Résoudre 4x2+3=2x+1\sqrt{4x^{2}+3} =2x+1

Correction
f(x)=g(x)⇔(g(x)≥0etf(x)=(g(x))2)\sqrt{f\left(x\right)} =g\left(x\right)\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {g\left(x\right)\ge 0} & {\text{et}} & {f\left(x\right)=\left(g\left(x\right)\right)^{2} } \end{array}\right)
4x2+3=2x+1⇔(2x+1≥0et4x2+3=(2x+1)2)\sqrt{4x^{2} +3} =2x+1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {2x+1\ge 0} & {\text{et}} & {4x^{2} +3=\left(2x+1\right)^{2} } \end{array}\right)
4x2+3=2x+1⇔(x≥−12et4x2+3=4x2+4x+1)\sqrt{4x^{2} +3} =2x+1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {x\ge -\dfrac{1}{2} } & {\text{et}} & {4x^{2} +3=4x^{2} +4x+1} \end{array}\right)
4x2+3=2x+1⇔(x≥−12et−4x=−2)\sqrt{4x^{2} +3} =2x+1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {x\ge -\dfrac{1}{2} } & {\text{et}} & {-4x=-2} \end{array}\right)
4x2+3=2x+1⇔(x≥−12etx=−2−4)\sqrt{4x^{2} +3} =2x+1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {x\ge -\dfrac{1}{2} } & {\text{et}} & {x=\dfrac{-2}{-4} } \end{array}\right)
4x2+3=2x+1⇔(x≥−12etx=12)\sqrt{4x^{2} +3} =2x+1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {x\ge -\dfrac{1}{2} } & {\text{et}} & {x=\dfrac{1}{2} } \end{array}\right)
Comme 12≥−12\frac{1}{2} \ge -\frac{1}{2} on peut conclure que
S={12}S=\left\{\frac{1}{2} \right\}

Question 2

Résoudre 2x−5=−x2−1\sqrt{2x-5} =-x^{2}-1

Correction
f(x)=g(x)⇔(g(x)≥0etf(x)=(g(x))2)\sqrt{f\left(x\right)} =g\left(x\right)\Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc} {g\left(x\right)\ge 0} & {\text{et}} & {f\left(x\right)=\left(g\left(x\right)\right)^{2} } \end{array}\right)
On vérifie facilement que −x2−1<0-x^{2}-1<0 et comme 2x−5≥0\sqrt{2x-5}\ge 0, il en résulte que l'équation n'admet pas de solutions.

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