Les équations : en route vers le supérieur

Les équations irrationnelles - Exercice 1

15 min
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Question 1

Résoudre 2x6=10x\sqrt{2x-6} =\sqrt{10-x}

Correction
L'équation f(x)=g(x)\sqrt{f\left(x\right)} =\sqrt{g\left(x\right)} est définie si et seulement f(x)0f\left(x\right)\ge 0 et g(x)0g\left(x\right)\ge 0 . On note II l'ensemble de validité de l'équation.
Ensuite il faut élever l'expression au carré pour résoudre l'équation.
Etape 1 :\text{\red{Etape 1 :}} Déterminons l'ensemble de validité de l'équation.
{2x6010x0{x3x10\left\{\begin{array}{c} {2x-6\ge 0} \\ {10-x\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge 3} \\ {x\le 10} \end{array}\right.
On détermine l'intersection des deux intervalles et on obtient I=[3;10]I=\left[3;10\right]
Etape 2 :\text{\red{Etape 2 :}}
Soit x[3;10]x\in \left[3;10\right]
2x6=10x\sqrt{2x-6} =\sqrt{10-x} équivaut successivement à :
(2x6)2=(10x)2\left(\sqrt{2x-6} \right)^{2} =\left(\sqrt{10-x} \right)^{2}
2x6=10x2x-6=10-x
2x+x=10+62x+x=10+6
3x=163x=16
x=163x=\frac{16}{3}
Or 163[3;10]\frac{16}{3} \in \left[3;10\right]
Ainsi :
S={163}S=\left\{\frac{16}{3} \right\}

Question 2

Résoudre x+8=6x\sqrt{x+8} =\sqrt{6-x}

Correction
L'équation f(x)=g(x)\sqrt{f\left(x\right)} =\sqrt{g\left(x\right)} est définie si et seulement f(x)0f\left(x\right)\ge 0 et g(x)0g\left(x\right)\ge 0 . On note II l'ensemble de validité de l'équation.
Ensuite il faut élever l'expression au carré pour résoudre l'équation.
Etape 1 :\text{\red{Etape 1 :}} Déterminons l'ensemble de validité de l'équation.
{x+806x0{x8x6\left\{\begin{array}{c} {x+8\ge 0} \\ {6-x\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge -8} \\ {x\le 6} \end{array}\right.
On détermine l'intersection des deux intervalles et on obtient I=[8;6]I=\left[-8;6\right]
Etape 2 :\text{\red{Etape 2 :}}
Soit x[8;6]x\in \left[-8;6\right]
x+8=6x\sqrt{x+8} =\sqrt{6-x} équivaut successivement à :
(x+8)2=(6x)2\left(\sqrt{x+8} \right)^{2} =\left(\sqrt{6-x} \right)^{2}
x+8=6xx+8=6-x
2x=22x=-2
x=22x=\frac{-2}{2}
x=1x=-1
Or 1[8;6]-1 \in \left[-8;6\right]
Ainsi :
S={1}S=\left\{-1 \right\}
Question 3

Résoudre x2+1=6x4\sqrt{x^{2}+1} =\sqrt{6x-4}

Correction
L'équation f(x)=g(x)\sqrt{f\left(x\right)} =\sqrt{g\left(x\right)} est définie si et seulement f(x)0f\left(x\right)\ge 0 et g(x)0g\left(x\right)\ge 0 . On note II l'ensemble de validité de l'équation.
Ensuite il faut élever l'expression au carré pour résoudre l'équation.
Etape 1 :\text{\red{Etape 1 :}} Déterminons l'ensemble de validité de l'équation.
{x2+106x40{xRx23\left\{\begin{array}{c} {x^{2}+1\ge 0} \\ {6x-4\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\in \mathbb{R}} \\ {x\ge \frac{2}{3}} \end{array}\right.
On détermine l'intersection des deux intervalles et on obtient I=[23;+[I=\left[\frac{2}{3};+\infty\right[
Etape 2 :\text{\red{Etape 2 :}}
Soit x[23;+[x\in \left[\frac{2}{3};+\infty\right[
x+8=6x\sqrt{x+8} =\sqrt{6-x} équivaut successivement à :
(x2+1)2=(6x4)2\left(\sqrt{x^{2} +1} \right)^{2} =\left(\sqrt{6x-4} \right)^{2}
x2+1=6x4x^{2} +1=6x-4
x2+16x+4=0x^{2} +1-6x+4=0
x26x+5=0x^{2} -6x+5=0
Or : Δ>0x1=1x2=5\begin{array}{ccc} {\Delta >0} & {x_{1} =1} & {x_{2} =5} \end{array}
Or 1[23;+[1 \in \left[\frac{2}{3};+\infty\right[ et 5[23;+[5 \in \left[\frac{2}{3};+\infty\right[
Ainsi :
S={1;5}S=\left\{1;5 \right\}