Les équations : en route vers le supérieur

Les équations du second degré à une inconnue dépendant d'un paramètre - Exercice 1

15 min
30
Discuter, suivant les valeurs du paramètre mm, les solutions, dans R\mathbb{R}, des équations suivantes :
Question 1

x2(m+2)x+m=0x^{2} -\left(m+2\right)x+m=0

Correction
Soit mRm\in \mathbb{R} .
Commençons par calculer le discriminant.
Δ=((m+2))24×1×m\Delta ={\left(-\left(m+2\right)\right)}^2-4\times 1\times m
Δ=(m+2)24m\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4m
Δ=m2+4m+44m\Delta =m^2+4m+4-4m
Δ=m2+4\Delta =m^2+4
Lorsque mRm\in \mathbb{R},on vérifie aisément que m2+4>0m^2+4>0 c'est à dire Δ>0\Delta>0 .
L'équation admet donc deux racines réelles notées x1x_1 et x2x_2 telles que :
  • x1=m+2m2+42x_1=\frac{m+2-\sqrt{m^2+4}}{2}
  • x2=m+2+m2+42x_2=\frac{m+2+\sqrt{m^2+4}}{2}
  • Question 2

    mx2+mx+2=0mx^{2} +mx+2=0

    Correction
    Soit mm un réel.
    Dans notre situation, m0m\ne 0 afin que l'équation soit une équation du second degré.
    Dans le cas où m=0m=0, l'équation s'écriera 2=02=0 . Cela signifie que dans le cas où m=0m=0, l'équation n'a pas de solution.
    Soit m0m\ne 0.
    mx2+mx+2=0mx^{2} +mx+2=0 .
    Commençons par calculer le discriminant.
    Δ=m24×m×2\Delta =m^2-4\times m\times 2
    Δ=m28m\Delta =m^2-8m
    Δ=m(m8)\Delta =m\left(m-8\right)
    Il nous faut maintenant discuter suivant le signe de Δ\Delta, tout en se rappelant que m0m\ne 0 .
    Premier cas :
    Si m]0;8[m\in \left]0;8\right[ alors Δ<0\Delta<0 l'équation n'admet donc pas de solutions réelles.
    Deuxième cas :
    Si m=8m=8 alors Δ=0\Delta=0 l'équation admet une unique racine double notée x0x_0.
    Ainsi x0=m2mx_0=\frac{-m}{2m} c'est à dire x0=12x_0=-\frac{1}{2}
    On rappelle que m0m\ne0 donc on ne traite pas ce cas.
    Troisième cas :
    Si m];0[]8;+[m\in \left]-\infty;0\right[\cup \left]8;+\infty\right[ alors Δ>0\Delta>0 l'équation admet donc deux racines réelles notées x1x_1 et x2x_2 .
  • x1=mm(m8)2x_1=\frac{-m-\sqrt{m\left(m-8\right)}}{2}
  • x2=m+m(m8)2x_2=\frac{-m+\sqrt{m\left(m-8\right)}}{2}