Les équations du second degré à une inconnue dépendant d'un paramètre - Exercice 1

Soit $$m\in \mathbb{R}$$ .
Commençons par calculer le discriminant.
$$\Delta ={\left(-\left(m+2\right)\right)}^2-4\times 1\times m$$
$$\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4m$$
$$\Delta =m^2+4m+4-4m$$
$$\Delta =m^2+4$$
Lorsque $$m\in \mathbb{R}$$,on vérifie aisément que $$m^2+4>0$$ c'est à dire $$\Delta>0$$ .
L'équation admet donc deux racines réelles notées $$x_1$$ et $$x_2$$ telles que :

$$x_1=\frac{m+2-\sqrt{m^2+4}}{2}$$

$$x_2=\frac{m+2+\sqrt{m^2+4}}{2}$$

Soit $$m$$ un réel.
Dans notre situation, $$m\ne 0$$ afin que l'équation soit une équation du second degré.
Dans le cas où $$m=0$$, l'équation s'écriera $$2=0$$ . Cela signifie que dans le cas où $$m=0$$, l'équation n'a pas de solution.
Soit $$m\ne 0$$.
$$mx^{2} +mx+2=0$$ .
Commençons par calculer le discriminant.
$$\Delta =m^2-4\times m\times 2$$
$$\Delta =m^2-8m$$
$$\Delta =m\left(m-8\right)$$
Il nous faut maintenant discuter suivant le signe de $$\Delta$$, tout en se rappelant que $$m\ne 0$$ .
Premier cas :
Si $$m\in \left]0;8\right[$$ alors $$\Delta<0$$ l'équation n'admet donc pas de solutions réelles.
Deuxième cas :
Si $$m=8$$ alors $$\Delta=0$$ l'équation admet une unique racine double notée $$x_0$$.
Ainsi $$x_0=\frac{-m}{2m}$$ c'est à dire $$x_0=-\frac{1}{2}$$
On rappelle que $$m\ne0$$ donc on ne traite pas ce cas.
Troisième cas :
Si $$m\in \left]-\infty;0\right[\cup \left]8;+\infty\right[$$ alors $$\Delta>0$$ l'équation admet donc deux racines réelles notées $$x_1$$ et $$x_2$$ .

$$x_1=\frac{-m-\sqrt{m\left(m-8\right)}}{2}$$

$$x_2=\frac{-m+\sqrt{m\left(m-8\right)}}{2}$$