Famille de courbes qui dépendent d'un paramètre - Exercice 1

On considère que le nombre $$a$$ satisfait à la condition suivante : $$a<0$$
$$\,\, \bullet \,\,$$ Etude de la limite de $$f_a$$ lorsque $$x \longrightarrow 0^+$$
On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}$$
Posons $$A = -a$$ ainsi $$A>0$$, et on a $$x^a = x^{-A} = \dfrac{1}{x^A}$$. Dans ce cas, on a $$f_a(x) = \left( 1 + x^{-A} \right)^{\frac{1}{-A}} = \left( 1 + x^{-A} \right)^{-\frac{1}{A}} = \dfrac{1}{\left( 1 + \dfrac{1}{x^A} \right)^{\frac{1}{A}}}$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{x^A} = +\infty \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left(1 + \dfrac{1}{x^A} \right) = +\infty \,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\lim_{x \longrightarrow 0^+} \left(1 + \dfrac{1}{x^A} \right)^{\frac{1}{A}} = +\infty \,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{x^A} \right)^{\frac{1}{A}}} = 0^+$$
Donc, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = 0^+$$.
Dans notre cas, la fonction $$f_a$$ est prolongeable par continuité en $$x=0$$. Notons par $$g_a$$ le prolongement par continuité qui défini par :
$$g_a(x) = \left\lbrace \begin{array}{rcl} f_a(x) & \mathrm{si} & x>0 \\ 0 & \mathrm{si} & x=0 \\ \end{array}\right.$$
$$\,\, \bullet \bullet \,\,$$ Etude de la limite de $$f_a$$ lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$
On a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}$$
Posons $$A = -a$$ ainsi $$A>0$$, et on a $$x^a = x^{-A} = \dfrac{1}{x^A}$$. Dans ce cas, on a $$f_a(x) = \left( 1 + x^{-A} \right)^{\frac{1}{-A}} = \left( 1 + x^{-A} \right)^{-\frac{1}{A}} = \dfrac{1}{\left( 1 + \dfrac{1}{x^A} \right)^{\frac{1}{A}}}$$. On a alors :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^A} = 0^+ \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x^A} \right) = 1^+ \,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x^A} \right)^{\frac{1}{A}} = 1^+ \,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{x^A} \right)^{\frac{1}{A}}} = 1^-$$
Donc, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = 1^-$$.
Ainsi la courbe représentative de la fonction $$f_a$$ admet, en $$+\infty$$, la droite $$y=1$$ comme asymptote horizontale. De plus, la courbe représentative de la fonction $$f_a$$ attaque cette asymptote horizontale par le dessous. Sur le graphique final, elle est en couleur bleue.
$$\,\, \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Etude de la dérivabilité à l'origine
Comme on cherche la dérivabilité à l'origine, donc en $$x=0$$, on va travailler avec le prolongement $$g_a$$. On a doit alors étudier la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f_a(x) - 0}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}}{x^{\frac{a}{a}}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( \dfrac{1+x^a}{x^a}\right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1+x^{-a}\right)^{\frac{1}{a}}$$
Posons $$A = -a$$ ainsi $$A>0$$, et on a $$x^{-a} = x^A$$. Dans ce cas, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1+x^{A}\right)^{\frac{1}{-A}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1+x^{A}\right)^{-\frac{1}{A}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1+0^{A}\right)^{-\frac{1}{A}} = \lim_{x \longrightarrow 0} \left( 1\right)^{-\frac{1}{A}} = \lim_{x \longrightarrow 0} 1 = 1$$.
Donc la fonction $$g_a$$ est dérivable à l'origine (c'est-à-dire en $$x=0$$), et comme $$g_a(0) = 0$$ la tangente à l'origine est la droite d'équation réduite $$y = 1 x$$, dite "première bissectrice". Sur le graphique final, elle est en couleur verte.
$$\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Dérivée $$g'_a$$ et variations sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$
On a :
$$g'_a(x) = \left( \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} \right)' = \dfrac{1}{a} \left( 1 + x^a \right)' \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1} = \dfrac{1}{a} ax^{a-1} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1} = x^{a-1} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1}$$
Or, si $$x>0$$, alors (pour p réel) $$x^p > 0$$. Donc, on en déduit que $$x^{a-1} > 0$$, et $$1 + x^a >0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1} > 0$$. Ainsi, pour $$x>0$$ on obtient $$g'_a(x) > 0$$. Donc, sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$, la fonction $$g_a$$ est strictement croissante. De plus comme $$g_a(0) = 0$$, on en déduit que cette fonction est positive sur $$\mathbb{R}^{+}$$. Sur le graphique final, elle est en couleur rouge.
Par exemple, pour $$a=-2$$, ceci nous donne donc :

2) On considère que le nombre $$a$$ satisfait à la condition suivante : $$0<a<1$$
$$\,\, \bullet \,\,$$ Etude de la limite de $$f_a$$ lorsque $$x \longrightarrow 0^+$$
On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}$$.
Si $$x \longrightarrow 0^+$$ alors $$x^a \longrightarrow 0^+$$. Dans ce cas, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left( 1 \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} 1 = 1$$.
Ainsi :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = 1$$
Dans notre cas, la fonction $$f_a$$ est prolongeable par continuité en $$x=0$$. Notons par $$g_a$$ le prolongement par continuité qui défini par :
$$g_a(x) = \left\lbrace \begin{array}{rcl} f_a(x) & \mathrm{si} & x>0 \\ 1 & \mathrm{si} & x=0 \\ \end{array}\right.$$
$$\,\, \bullet \bullet \,\,$$ Etude de la limite de $$f_a$$ lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$
On a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} = + \infty$$
$$\,\, \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Etude de la dérivabilité à l'origine
Comme on cherche la dérivabilité à l'origine, donc en $$x=0$$, on va travailler avec le prolongement $$g_a$$. On a doit alors étudier la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f_a(x) - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} - 1}{x}$$
Comme $$x \longrightarrow 0$$, et donc $$x^a \longrightarrow 0$$ également, on va faire usage de l'approximation affine suivante : $$(1 + x)^p \underset{0}{\sim} 1 + px \,\, (p\in \mathbb{R})$$. Ainsi, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( 1 + \dfrac{x^a}{a} \right) - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{ 1 + \dfrac{x^a}{a} - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{x^a}{a}}{x} = \dfrac{1}{a} \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x^a}{x} = \dfrac{1}{a} \lim_{x \longrightarrow 0} x^{a-1}$$
Comme $$0<a<1$$ alors cela implique que $$a-1<0$$, et de fait $$x^{a-1} = x^{-(-(a-1))} = x^{-(1-a)} = \dfrac{1}{x^{1-a}}$$ où $$1-a>0$$. Donc, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \dfrac{1}{a} \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{1}{x^{1-a}} = \dfrac{1}{a} \times +\infty$$
Comme $$a>0$$ alors $$\dfrac{1}{a}>0$$, et de fait on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = + \infty$$
En conclusion, dans ce cas, la fonction $$g_a$$ n'est pas dérivable en $$x=0$$. La tangente initiale, au point de coordonnées $$(x=0 \,;\, y=1)$$ est verticale montante.
$$\,\, \bullet \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Dérivée $$g'_a$$ et variations sur $$\mathbb{R}^{+\star}$$
On a :
$$g'_a(x) = \left( \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} \right)' = \dfrac{1}{a} \left( 1 + x^a \right)' \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1} = \dfrac{1}{a} ax^{a-1} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1} = x^{a-1} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1}$$
Or, si $$x>0$$, alors (pour p réel) $$x^p > 0$$. Donc, on en déduit que $$x^{a-1} > 0$$, et $$1 + x^a >0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}-1} > 0$$. Ainsi, pour $$x>0$$ on obtient $$g'_a(x) > 0$$. Donc, sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$, la fonction $$g_a$$ est strictement croissante. De plus comme $$g_a(0) = 1$$, on en déduit que cette fonction est strictement positive sur $$\mathbb{R}^{+}$$. Sur le graphique final, elle est en couleur rouge.
Par exemple, pour $$a=0,5$$, ceci nous donne donc :

3) On considère que le nombre $$a$$ satisfait à la condition suivante : $$a=1$$
Dans ce cas la fonction $$f_a$$ prend la forme suivante :
$$f_a(x) = \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} = \left( 1 + x^1 \right)^{\frac{1}{1}} = \left( 1 + x^1 \right)^{1} = 1 + x$$
Il s'agit de l'équation réduite d'une droite, d'ordonnée à l'origine $$1$$ et de coefficient directeur $$1$$. Ce dernier point implique que la droite est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$, donc à fortiori sur $$\mathbb{R}^+$$. Cette équation réduite de droite est donc dérivable, et donc continue, sur $$\mathbb{R}$$, donc à fortiori sur $$\mathbb{R}^+$$.
On a alors le graphique suivant :

4) On considère que le nombre $$a$$ satisfait à la condition suivante : $$a>1$$
$$\,\, \bullet \,\,$$ Etude de la limite de $$f_a$$ lorsque $$x \longrightarrow 0^+$$
On a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}$$.
Si $$x \longrightarrow 0^+$$ alors $$x^a \longrightarrow 0^+$$. Dans ce cas, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \left( 1 \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} 1 = 1$$.
Ainsi :
$$\lim_{x \longrightarrow 0^+} f_a(x) = 1$$
Dans notre cas, la fonction $$f_a$$ est prolongeable par continuité en $$x=0$$. Notons par $$g_a$$ le prolongement par continuité qui défini par :
$$g_a(x) = \left\lbrace \begin{array}{rcl} f_a(x) & \mathrm{si} & x>0 \\ 1 & \mathrm{si} & x=0 \\ \end{array}\right.$$
$$\,\, \bullet \bullet \,\,$$ Etude de la limite de $$f_a$$ lorsque $$x \longrightarrow +\infty$$
On a :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} f_a(x) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} = + \infty$$
Etudions alors la possibilité éventuelle d'une asymptote oblique. Pour cela commençons par étudier la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{f_a(x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \dfrac{ \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}}}{x} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{ 1 + x^a }{x^a} \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{ 1 }{x^a} + \dfrac{ x^a }{x^a} \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \dfrac{ 1 }{x^a} + 1 \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 0 + 1 \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( 1 \right)^{\frac{1}{a}} = \lim_{x \longrightarrow +\infty} 1 = 1$$
Dans ce cas, dans la suite de la procédure de recherche asymptotique, étudions maintenant la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( f_a(x) - 1x \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} - x \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \left( x^a x^{-a} + x^a \right)^{\frac{1}{a}} - x \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( \left( x^a \right)^{\frac{1}{a}} \left( x^{-a} + 1 \right)^{\frac{1}{a}} - x \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( x \left( x^{-a} + 1 \right)^{\frac{1}{a}} - x \right)$$
En factorisant par le terme $$x$$, on trouve que :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( f_a(x) - 1x \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} x\left( \left( x^{-a} + 1 \right)^{\frac{1}{a}} - 1 \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} x\left( \left( \dfrac{1}{x^a} + 1 \right)^{\frac{1}{a}} - 1 \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} x\left( \left( 0^+ + 1 \right)^{\frac{1}{a}} - 1 \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} x\left( \left( 1^+ \right)^{\frac{1}{a}} - 1 \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} x\left( 1^+ - 1 \right) = \lim_{x \longrightarrow +\infty} x\left(0^+ \right)$$
Soit :
$$\lim_{x \longrightarrow +\infty} \left( f_a(x) - 1x \right) = 0^+$$
Ainsi, on en déduit que l'asymptote oblique à la coube, en $$+\infty$$, admet pour équation réduite $$y = 1x + 0 = x$$. C'est la première bissectrice. De plus, la courbe représentative de $$f_a$$ attaque cette asymptote par le dessus. C'est la droite en bleue sur le graphique final.
$$\,\, \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Etude de la dérivabilité à l'origine
Comme on cherche la dérivabilité à l'origine, donc en $$x=0$$, on va travailler avec le prolongement $$g_a$$. On a doit alors étudier la limite suivante :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{f_a(x) - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( 1 + x^a \right)^{\frac{1}{a}} - 1}{x}$$
Comme $$x \longrightarrow 0$$, et donc $$x^a \longrightarrow 0$$ également, on va faire usage de l'approximation affine suivante : $$(1 + x)^p \underset{0}{\sim} 1 + px \,\, (p\in \mathbb{R})$$. Ainsi, on a :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{\left( 1 + \dfrac{x^a}{a} \right) - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{ 1 + \dfrac{x^a}{a} - 1}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{x^a}{a}}{x} = \dfrac{1}{a} \lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{x^a}{x} = \dfrac{1}{a} \lim_{x \longrightarrow 0} x^{a-1}$$
Comme $$a>1$$ alors cela implique que $$a-1>0$$, et de fait $$\lim_{x \longrightarrow 0} x^{a-1} = 0$$. Donc, on en déduit que :
$$\lim_{x \longrightarrow 0} \dfrac{g_a(x) - g_a(0)}{x-0} = \dfrac{1}{a} \times 0 = 0$$
En conclusion, dans ce cas, la fonction $$g_a$$ est dérivable en $$x=0$$. La tangente initiale, au point de coordonnées $$(x=0 \,;\, y=1)$$ est horizontale. C'est la première bissectrice. C'est la droite en bleue sur le graphique final.
Graphiquement, on obtient avec $$a=2$$ :