Dérivation : en route vers le supérieur

Etude d'une fonction numérique - Exercice 1

1 h
90
Soit ff la fonction numérique, de la variable réelle xx, définit par :
\bullet \,\, Pour x0x \neq 0, f(x)=e1xx2f(x) = \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}
\bullet \,\, Pour x=0x = 0, f(0)=0f(0) = 0
Question 1

Etudier la continuité de ff sur R\mathbb{R}^\star.

Correction
La fonction exponentielle exponentielle est continue sur R\mathbb{R}. Puis, la fonction inverse au carré est continue sur R\mathbb{R}^\star. Donc, le produit des deux est continue sur R\mathbb{R}^\star. Ceci traduit que la division par zéro n'a pas de sens. En effet, partager par rien est dénué de sens. Ainsi la fonction ff est continue sur R\mathbb{R}^\star.
La continuité en x=0x=0 requiert une attention particulière par l'étude des limites lorsque x0x \longrightarrow 0^- et x0+x \longrightarrow 0^+.
Question 2

Etudier la continuité de ff en x=0x=0. Vous distinguerez les cas x0x \longrightarrow 0^- et x0+x \longrightarrow 0^+.

Correction
Si la fonction ff soit être continue en x=0x=0 alors on aura les égalités suivantes :
limx0f(x)=limx0+f(x)=f(0)=0\lim_{x \longrightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 0
Si l'une de ces égalités n'est pas vérifiée alors la fonction ff ne sera pas continue en x=0x=0.
On a :
\bullet \,\, limite lorsque x0x \longrightarrow 0^-
limx0f(x)=limx0e1xx2\lim_{x \longrightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}
On pose X=1xX = \dfrac{1}{x}, ainsi X2=(1x)2=12x2=1x2X^2 = \left(\dfrac{1}{x}\right)^2 = \dfrac{1^2}{x^2} = \dfrac{1}{x^2}. De fait, on en déduit que si x0x \longrightarrow 0^- alors XX \longrightarrow -\infty. Ainsi, on peut écrire que :
e1xx2=X2eX\dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} = X^2 e^{-X}
On a alors :
limx0f(x)=limx0e1xx2=limXX2eX=limXX2×limXeX=(limXX)2×elimXX=()2×(+)=(+)×(+)=+\lim_{x \longrightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^-} \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} = \lim_{X \longrightarrow -\infty} X^2 e^{-X} = \lim_{X \longrightarrow -\infty} X^2 \times \lim_{X \longrightarrow -\infty} e^{-X} = \left(\lim_{X \longrightarrow -\infty} X\right)^2 \times e^{-\displaystyle{\lim_{X \longrightarrow -\infty}} X} = (-\infty)^2 \times (+ \infty) = (+ \infty) \times (+ \infty) = + \infty
Donc :
limx0f(x)=+\lim_{x \longrightarrow 0^-} f(x) = + \infty
Ainsi, l'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe représentative de ff lorsque x0x \longrightarrow 0^-.
\bullet \bullet \,\, limite lorsque x0+x \longrightarrow 0^+
limx0+f(x)=limx0+e1xx2\lim_{x \longrightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}
On pose X=1xX = \dfrac{1}{x}, ainsi X2=(1x)2=12x2=1x2X^2 = \left(\dfrac{1}{x}\right)^2 = \dfrac{1^2}{x^2} = \dfrac{1}{x^2}. De fait, on en déduit que si x0+x \longrightarrow 0^+ alors X+X \longrightarrow +\infty. Ainsi, on peut écrire que :
e1xx2=X2eX\dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} = X^2 e^{-X}
On a alors :
limx0+f(x)=limx0+e1xx2=limX+X2eX\lim_{x \longrightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} = \lim_{X \longrightarrow +\infty} X^2 e^{-X}
Le théorème des croissances comparées, en ++ \infty, nous apprend que le exponentiel eXe^{-X} à une vitesse de décroissance beaucoup plus importante que la croissance polynomiale du terme X2X^2. Donc, on en déduit que :
limX+X2eX=0+\lim_{X \longrightarrow +\infty} X^2 e^{-X} = 0^+
Et de fait :
limx0+f(x)=0+\lim_{x \longrightarrow 0^+} f(x) = 0^+
\bullet \bullet \bullet \,\, CONCLUSION :
On vient de montrer que limx0f(x)limx0+f(x)\lim_{x \longrightarrow 0^-} f(x) \neq \lim_{x \longrightarrow 0^+} f(x), ce qui implique que la fonction ff n'est pas continue en x=0x=0.
Question 3

Etudier la dérivabilité de ff en x=0x=0. Vous distinguerez les cas x0x \longrightarrow 0^- et x0+x \longrightarrow 0^+.

Correction
\bullet \,\, Etudions la dérivabilité de ff en x=0x = 0^-
D'après la question précédente, l'axe des ordonnées est une asymptote verticale. Ceci signifie que, lorsque x0x \longrightarrow 0^-, le coefficient de la tangente tend vers ++\infty. Ainsi, la fonction ff n'est pas dérivable lorsque x0x \longrightarrow 0^-. On dit encore que ff n'est pas dérivable à "gauche" de l'origine.

\bullet \, \bullet \,\, Etudions la dérivabilité de ff en x=0+x = 0^+
On cherche la dérivabilité de ff, à "droite" de x=0x=0 on on note cela par fd(0)f'_d(0). On a, par définition, la limite suivante :
fd(0)=limx0+f(x)f(0)x0=limx0+f(x)0x=limx0+f(x)x=limx0+e1xx2x=limx0+e1xx3f'_d(0) = \lim_{x \longrightarrow 0^+}\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \longrightarrow 0^+}\dfrac{f(x) - 0}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0^+}\dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0^+}\dfrac{\dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}}{x} = \lim_{x \longrightarrow 0^+} \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}
On pose X=1xX = \dfrac{1}{x}, ainsi X3=(1x)3=13x3=1x3X^3 = \left(\dfrac{1}{x}\right)^3 = \dfrac{1^3}{x^3} = \dfrac{1}{x^3}. De fait, on en déduit que si x0+x \longrightarrow 0^+ alors X+X \longrightarrow +\infty. Ainsi, on peut écrire que :
e1xx3=X3eX\dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^3} = X^3 e^{-X}
On a alors :
fd(0)=limx0+f(x)f(0)x0=limX+X3eXf'_d(0) = \lim_{x \longrightarrow 0^+}\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{X \longrightarrow +\infty} X^3 e^{-X}
Le théorème des croissances comparées, en ++ \infty, nous apprend que le exponentiel eXe^{-X} à une vitesse de décroissance beaucoup plus importante que la croissance polynomiale du terme X3X^3. Donc, on en déduit que :
limX+X3eX=0+\lim_{X \longrightarrow +\infty} X^3 e^{-X} = 0^+
Et de fait :
fd(0)=limx0+f(x)f(0)x0=0+f'_d(0) = \lim_{x \longrightarrow 0^+}\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 0^+
Ainsi la fonction ff est dérivable en 0+0^+. La tangente à l'origine est horizontale et tournée vers la droite.
Question 4

Etudiez les variations de ff sur R.\mathbb{R}.

Correction
La fonction ff étudiée est donc dérivable sur l'intervalle R\mathbb{R^\star}. Et la fonction dérivée associée ff' est donnée par :
f(x)=(e1xx2)=(e1x)×x2(x2)×e1x(x2)2=(1x)e1x×x22x×e1xx4=1x2×e1x×x22x×e1xx4=12xx4×e1xf'(x) = \left( \dfrac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^2} \right)' = \dfrac{\left( e^{-\frac{1}{x}} \right)' \times x^2 - (x^2)' \times e^{-\frac{1}{x}}}{(x^2)^2} = \dfrac{\left( -\frac{1}{x} \right)' e^{-\frac{1}{x}}\times x^2 - 2x \times e^{-\frac{1}{x}}}{x^4} = \dfrac{\dfrac{1}{x^2} \times e^{-\frac{1}{x}}\times x^2 - 2x \times e^{-\frac{1}{x}}}{x^4} = \dfrac{1 - 2x}{x^4} \times e^{-\frac{1}{x}}
Or, sur l'intervalle R\mathbb{R^\star}, le terme x4x^4 est toujours strictement positif, puis le terme e1xe^{-\frac{1}{x}} est également strictement positif. Ainsi, sur l'intervalle R\mathbb{R^\star}, la dérivée ff' est du même signe que le terme (polynomial de premier degré) 12x1 - 2x. On peut donc écrire que :
\,\, \bullet \,\, pour x<12x < \dfrac{1}{2}, on a 12x>01 - 2x > 0, ce qui implique que f(x)>0f'(x) > 0.
\,\, \bullet \, \bullet \,\, pour x=12x =\dfrac{1}{2}, on a 12x=01 - 2x = 0, ce qui implique que f(x)=0f'(x) = 0.
\,\, \bullet \, \bullet \, \bullet \,\, pour x>12x > \dfrac{1}{2}, on a 12x<01 - 2x < 0, ce qui implique que f(x)<0f'(x) < 0.
On constate qu'en x=12x =\dfrac{1}{2}, la dérivée s'annule en changeant de signe, passant de la positivité à la négativité. Donc en x=12x =\dfrac{1}{2}, la courbe représentative de la fonction ff admet un maximum local. Le principe de Lagrange permet alors de conclure sur les variations de ff, à savoir :
\,\, \bullet \,\, pour x<12x < \dfrac{1}{2}, ff est croissante, et ff admet une discontinuité à l'origine, donc en x=0x=0.
\,\, \bullet \, \bullet \,\, pour x=12x =\dfrac{1}{2}, ff présente un maximum local de valeur fmax=f(12)f_{\max} = f\left( \dfrac{1}{2} \right).
\,\, \bullet \, \bullet \, \bullet \,\, pour x>12x > \dfrac{1}{2}, ff est décroissante.
Avec :
fmax=f(12)=e112(12)2=e214=4e20,54f_{\max} = f\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{e^{-\frac{1}{\frac{1}{2}}}}{\left( \dfrac{1}{2} \right)^2} = \dfrac{e^{-2}}{\dfrac{1}{4}} = 4 e^{-2} \simeq 0,54
Il nous reste à étudier les limites de ff en -\infty ainsi qu'en ++\infty. Lorsque x±x \longrightarrow \pm \infty, on a 1x0±\dfrac{1}{x} \longrightarrow 0^\pm, et de fait 1x0-\dfrac{1}{x} \longrightarrow 0^\mp. Il s'ensuit que :
limx±e1x=1\lim_{x \longrightarrow \pm \infty} e^{-\frac{1}{x}} = 1^\mp
Cependant, on a limx±1x2=0+\lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \dfrac{1}{x^2} = 0^+. Ainsi, on en déduit aisément que :
limx±f(x)=limx±1x2×e1x=0+×1=0+\lim_{x \longrightarrow \pm \infty} f(x) = \lim_{x \longrightarrow \pm \infty} \dfrac{1}{x^2} \times e^{-\frac{1}{x}} = 0^+\times 1^\mp = 0^+
Donc, lorsque x±x \longrightarrow \pm \infty, l'axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction ff.
Question 5

Construire la courbe représentative de ff.

Correction
On a le graphique suivant :