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Calcul d'une fonction dérivée (2) - Exercice 1

20 min
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Soit AA, ω\omega et λ\lambda trois nombres réels strictement positifs, et φ\varphi un nombre réel.
Soit ff une fonction numérique de la seule variable xx, et dont l'image est donnée par l'expression suivante :
f(x)=A e−λx cos⁡(ωx+φ)f(x) = A \, e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi)
Question 1

Déterminer l'expression de la dérivée f′f', parfois notée d fdx\dfrac{d \, f}{dx} (notation de Leibniz ou parfois dite "du physicien")

Correction
On a :
f′(x)=(A e−λx cos⁡(ωx+φ))′=A×(e−λx cos⁡(ωx+φ))′=A×((e−λx)′ cos⁡(ωx+φ)+e−λx (cos⁡(ωx+φ))′)f'(x) = \left(A \, e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) \right)' = A \times \left(e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) \right)' = A \times \left(\left(e^{-\lambda x}\right)' \, \cos(\omega x + \varphi) + e^{-\lambda x} \, \left(\cos(\omega x + \varphi)\right)'\right)
Soit :
f′(x)=A×((−λx)′e−λx cos⁡(ωx+φ)−e−λx (ωx+φ)′sin⁡(ωx+φ))=A×(−λ e−λx cos⁡(ωx+φ)−e−λx ω sin⁡(ωx+φ))f'(x) = A \times \left(\left(-\lambda x\right)'e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) - e^{-\lambda x} \, (\omega x + \varphi)'\sin(\omega x + \varphi)\right) = A \times \left(-\lambda \, e^{-\lambda x} \, \cos(\omega x + \varphi) - e^{-\lambda x} \, \omega \, \sin(\omega x + \varphi)\right)
En factorisant par le terme e−λxe^{-\lambda x} on obtient :
f′(x)=A e−λx (−λ cos⁡(ωx+φ)−ω sin⁡(ωx+φ))f'(x) = A \, e^{-\lambda x} \, \left(-\lambda \, \cos(\omega x + \varphi) - \omega \, \sin(\omega x + \varphi)\right)
Finalement, on trouve que :
f′(x)=d fdx(x)=−A e−λx (λ cos⁡(ωx+φ)+ω sin⁡(ωx+φ))f'(x) = \dfrac{d\,f}{dx}(x) = - A \, e^{-\lambda x} \, \left(\lambda \, \cos(\omega x + \varphi) + \omega \, \sin(\omega x + \varphi)\right)
C'est une dérivation que l'on retrouve en Physique dans le domaine des oscillations.

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