Trigonométrie

Une transformation importante, à connaître, est la suivante :
soit $$a$$, $$b$$ et $$c$$ trois nombres réels, tels que $$(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$$. Soit $$w$$ un nombre réel non nul. Et, on considère l'équation, notée $$(E)$$, suivante :
$$a \cos(wx) + b \sin(wx) = c$$
Afin d'opérer une transformation efficace de cette équation, on va introduire la quantité non nulle $$\sqrt{a^2+b^2}$$. On a alors :
$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos(wx) + \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin(wx) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
On cherche alors le nombre réel $$\theta$$, tel qu'il satisfasse simultanément aux deux conditions suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, l'équation initiale $$(E)$$ prend la forme :
$$\cos(\theta) \cos(wx) + \sin(\theta) \sin(wx) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
En faisant usage des formules d'addition, on a :
$$\cos(\theta) \cos(wx) + \sin(\theta) \sin(wx) = \cos(wx - \theta)$$
Donc :
$$\cos(wx - \theta) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
$${\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \,\,\, }}$$ Si $$\left| \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| > 1$$ alors l'équation $$(E)$$ n'a pas de solution.
$${\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \,\, \bullet \,\,\, }}$$ Si $$\left| \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \leqslant 1$$ alors l'équation $$(E)$$ admet des solutions. En effet :
$$\left| \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \leqslant 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -1 \leqslant \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \leqslant 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = \cos \left( \arccos\left( \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \right)$$
Ceci en tenant compte que la fonction $$x \longrightarrow \arccos(x)$$ existe si $$-1 \leqslant x \leqslant 1$$. C'est ce que nous montre le graphe suivant :

Donc, on obtient l'égalité suivante :
$$\cos(wx - \theta) = \cos \left( \arccos\left( \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) \right)$$
Ce qui implique, avec $$k \in \mathbb{Z}$$ que :
$$wx - \theta = \pm \arccos\left( \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) + k2\pi$$
Ce qui nous permet d'obtenir les solutions de $$(E)$$ recherchées, à savoir :
$${\color{red}{x = \dfrac{\theta}{w} \pm \dfrac{1}{w}\arccos\left( \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) + k\dfrac{2\pi}{w} \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})}}$$
$${\color{blue}{\,\, \looparrowright \\\text{Remarque :}}}$$
On rappelle les quatre résultats importants suivants $$(k \in \mathbb{Z})$$ :
$$\cos(x) = \cos(y) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & y + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -y +2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Mais aussi :
$$\sin(x) = \sin(y) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & y + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \pi-y +2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Puis :
$$\tan(x) = \tan(y) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, x = y + k\pi$$
Et enfin :
$$\text{cotan}(x) = \text{cotan}(y) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, x = y + k\pi$$
On rappelle également les tables de valeurs suivantes :

Puis, on a les six relations suivantes :
$$\,\,\, {\color{blue}{\bullet}} \,\, \cos \left( \arccos(x)\right) = x$$ si $$x \in [-1\,;\,1]$$
$$\,\,\, {\color{blue}{\bullet}} \,\, \arccos \left( \cos(\theta)\right) = \theta$$ si $$\theta \in [0\,;\,\pi]$$
$$\,\,\, {\color{red}{\bullet}} \,\, \sin \left( \arcsin(x)\right) = x$$ si $$x \in [-1\,;\,1]$$
$$\,\,\, {\color{red}{\bullet}} \,\, \arcsin \left( \sin(\theta)\right) = \theta$$ si $$\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2} \right]$$
$$\,\,\, {\color{green}{\bullet}} \,\, \tan \left( \arctan(x)\right) = x$$ si $$x \in \mathbb{R}$$
$$\,\,\, {\color{green}{\bullet}} \,\, \arctan \left( \tan(\theta)\right) = \theta$$ si $$\theta \in \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2} \right[$$