Pour se préparer efficacement à un devoir sur table.
Question 1
Répondre aux six questions suivantes.
Sachant que cos(4π)=21, déterminer les lignes trigonométriques de 8π et 16π.
Correction
On sait que pour tout nombre réel x, on a : cos2(x)=21+cos(2x) En posant x=8π, donc 2x=4π. Ainsi : cos2(8π)=21+cos(4π)=21+21=21+22=222+22=222+2=42+2 Or 8π∈[0;2π] ce qui implique que cos(8π)⩾0 donc : cos(8π)=42+2=22+2 On en déduit que : sin2(8π)=1−cos2(8π)=1−42+2=44−42+2=44−2−2=42−2 Or 8π∈[0;2π] ce qui implique que sin(8π)⩾0 donc : sin(8π)=22−2 De la même manière, pour tout nombre réel x, on a : cos2(x)=21+cos(2x) En posant x=16π, donc 2x=8π. Ainsi : cos2(16π)=21+cos(8π)=21+22+2=222+22+2=222+2+2=42+2+2 Or 16π∈[0;2π] ce qui implique que cos(16π)⩾0 donc : cos(16π)=42+2+2=22+2+2 On en déduit que : sin2(16π)=1−cos2(16π)=1−42+2+2=44−42+2+2=44−2−2+2=42−2+2 Or 16π∈[0;2π] ce qui implique que sin(16π)⩾0 donc : sin(16π)=22−2+2 Finalement : cos(8π)=22+2etsin(8π)=22−2 cos(16π)=22+2+2etsin(16π)=22−2+2
Question 2
Résoudre, dans R, l'équation (E) suivante : (E):2sin(x)cos(x)+(3−1)cos2(x)−(3+1)sin2(x)=0
Correction
On a : Résoudre, dans R, l'équation (E) suivante : (E):2sin(x)cos(x)+3cos2(x)−cos2(x)−3sin2(x)−sin2(x)=0 Soit : (E):2sin(x)cos(x)+3(cos2(x)−sin2(x))=cos2(x)+sin2(x) Mais, pour tout nombre réel x, on sait que cos2(x)+sin2(x)=1 et que cos2(x)−sin2(x)=cos(2x). Ainsi, on obtient : (E):2sin(x)cos(x)+3cos(2x)=1 De plus, pour tout nombre réel x, on sait que 2sin(x)cos(x)=sin(2x). Ainsi : (E):sin(2x)cos(x)+3cos(2x)=1 On a alors 12+(3)2=1+3=4=2. Donc : (E):21sin(2x)cos(x)+23cos(2x)=21 On recherche donc un nombre réel θ qui vérifient les deux conditions : ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==2321⟺θ=6π Ceci nous permet d'écrire que : cos(2x−6π)=21 Ce qui s'écrit encore : cos(2x−6π)=cos(3π) Ainsi, avec k∈Z, on a : ⎩⎨⎧2x−6π2x−6π=ou=3π+2kπ−3π+2kπ⟺⎩⎨⎧2x2x=ou=6π+3π+2kπ6π−3π+2kπ⟺⎩⎨⎧2x2x=ou=2π+2kπ−6π+2kπ Soit, en divisant par 2, on obtient : ⎩⎨⎧xx=ou=4π+kπ−12π+kπ Finalement, l'ensemble SE des solutions de l'équation (E) est donné par : SE={x=4π+kπoux=−12π+kπ(k∈Z)}
Question 3
Résoudre, dans R, l'équation (E) suivante : (E):cos(x)×cos(7x)=cos(3x)×cos(5x)
Correction
Soit a et b deux nombres réels. On sait que : cos(a)×cos(b)=2cos(a+b)+cos(a−b) Ainsi : ⎩⎨⎧cos(x)×cos(7x)cos(3x)×cos(5x)==2cos(x+7x)+cos(x−7x)2cos(3x+5x)+cos(3x−5x) Soit : ⎩⎨⎧cos(x)×cos(7x)cos(3x)×cos(5x)==2cos(8x)+cos(−6x)2cos(8x)+cos(−2x) Mais la fonction sinus est impaire. Donc pour tout grandeur réelle X, on a cos(−X)=cos(X). D'où : ⎩⎨⎧cos(x)×cos(7x)cos(3x)×cos(5x)==2cos(8x)+cos(6x)2cos(8x)+cos(2x) L'équation (E) devient alors : (E):2cos(8x)+cos(6x)=2cos(8x)+cos(2x) En simplifiant par 21=0, on aboutit à : (E):cos(8x)+cos(6x)=cos(8x)+cos(2x) Ce qui nous permet d'obtenir : (E):cos(6x)=cos(2x) Puis, avec k∈Z, on a : ⎩⎨⎧6x6x=ou=2x+k2π−2x+k2π⟺⎩⎨⎧4x8x=ou=0+k2π0+k2π⟺⎩⎨⎧4x8x=ou=k2πk2π⟺⎩⎨⎧xx=ou=k42πk82π Soit : ⎩⎨⎧xx=ou=k2πk4π(k∈Z). Les situations du type x=k2π sont toutes incluses dans celles du type x=k4π : c'est la cas des k pairs. Finalement, l'ensemble SE des solutions de l'équation (E) est donné par : SE={x=k4π(k∈Z)}
Question 4
En réfléchissant sur la somme des racines cinquième de l'unité, déterminer la valeur de 1+2cos(52π)+2cos(54π). En déduire la ligne trigonométrique de 52π.
Correction
KaTeX parse error: Got function '\color' with no arguments as subscript at position 3: S_\̲c̲o̲l̲o̲r̲{red}{5}
Question 5
Calculer la valeur de la somme suivante : S=k=0∑5cos((2k+1)13π).
Correction
L'analyse de cette somme est plus simple en passant par les nombres complexes. En effet, on a : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=k=0∑5ℜ(ei((2k+1)13π))=ℜ(k=0∑5ei((2k+1)13π))=ℜ(k=0∑5eik132π×ei13π) Le terme ei13π est indépendant de k, et donc peux sortir de la somme. On a alors : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=ℜ(ei13πk=0∑5eik132π)=ℜ(ei13πk=0∑5(ei132π)k) On voit apparaître une somme géométrique de six termes, dont le premier terme est e0=1, et de raison ei132π. On a donc : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=ℜ⎝⎛ei13π1−ei132π1−(ei132π)6⎠⎞=ℜ(ei13π1−ei132π1−ei1312π)=ℜ(ei13πe0−ei132πe0−ei1312π) Ce qui s'écrit encore : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=ℜ(ei13πei13π×e−i13π−ei13π×ei13πei136π×e−i136π−ei136π×ei136π)=ℜ(ei13π×ei13πei136π×e−i13π−ei13πe−i136π−ei136π) Soit encore : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=ℜ⎝⎛ei13π×ei13πei136π×2ie−i13π−ei13π2ie−i136π−ei136π⎠⎞=ℜ⎝⎛ei136π×2ie−i13π−ei13π2ie−i136π−ei136π⎠⎞ Ceci est strictement identique à : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=ℜ⎝⎛ei136π×2iei13π−e−i13π2iei136π−e−i136π⎠⎞=ℜ⎝⎛ei136π×sin(13π)sin(136π)⎠⎞=sin(13π)sin(136π)×ℜ(ei136π) Ce qui nous donne donc : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=sin(13π)sin(136π)×cos(136π)=21×sin(13π)2×sin(136π)×cos(136π) Mais, on sait que pour toute quantité réelle X, on a 2sin(X)cos(X)=sin(2X). Ainsi : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=21×sin(13π)sin(1312π)=21×sin(13π)sin(13(13−1)π)=21×sin(13π)sin(π−13π) Or, pour toute quantité X, on a sin(π−X)=sin(X). Ce qui nous permet d'écrire que : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=21×sin(13π)sin(13π)=21×1 Finalement : S=k=0∑5cos((2k+1)13π)=21
Question 6
Calculer la valeur de la somme suivante : S=k=1∑4cos2(k9π).
Correction
On a : S=k=1∑4cos2(k9π)=cos2(9π)+cos2(29π)+cos2(39π)+cos2(49π) Or, pour toute quantité réelle x, on a cos2(x)=21+cos(2x). En ramplacant chaque terme de la somme S : S=21+cos(29π)+21+cos(49π)+21+cos(69π)+21+cos(89π) Soit : S=21+2cos(29π)+21+2cos(49π)+21+2cos(69π)+21+2cos(89π) D'où : S=2+21(cos(29π)+cos(49π)+cos(69π)+cos(89π)) On constate que, d'une part 29π+89π=109π, et d'autre part 49π+69π=109π. Ainsi on a vas associer, deux à deux, les termes présents. On a alors : S=2+21([cos(29π)+cos(89π)]+[cos(49π)+cos(89π)]) De plus, pour les deux nombres réels a et b, on sait que : cos(a)+cos(b)=2cos(2a+b)cos(2a−b) Ce qui implique que : ⎩⎨⎧cos(29π)+cos(89π)cos(49π)+cos(69π)===2cos⎝⎛229π+89π⎠⎞cos⎝⎛229π−89π⎠⎞2cos⎝⎛249π+69π⎠⎞cos⎝⎛249π−69π⎠⎞ Soit encore : ⎩⎨⎧cos(29π)+cos(89π)cos(49π)+cos(69π)===2cos⎝⎛2109π⎠⎞cos⎝⎛2−69π⎠⎞2cos⎝⎛2109π⎠⎞cos⎝⎛2−29π⎠⎞ D'où : ⎩⎨⎧cos(29π)+cos(89π)cos(49π)+cos(69π)===2cos(59π)cos(−93π)2cos(59π)cos(−9π) La fonction cosinus étant paire, on en déduit alors que : ⎩⎨⎧cos(29π)+cos(89π)cos(49π)+cos(69π)===2cos(95π)cos(93π)2cos(95π)cos(9π) Ce qui nous conduit à : S=2+21(2cos(95π)cos(93π)+2cos(95π)cos(9π)) En simplifiant : S=2+cos(95π)cos(93π)+cos(95π)cos(9π) Puis, en factorisant : S=2+cos(95π)(cos(93π)+cos(9π)) Mais l'expression entre parenthèses peut encore se transformer comme : cos(93π)+cos(9π)=2cos⎝⎛293π+9π⎠⎞cos⎝⎛293π−9π⎠⎞=2cos⎝⎛294π⎠⎞cos⎝⎛292π⎠⎞=2cos(92π)cos(9π) Ainsi, on obtient : S=2+cos(95π)(2cos(92π)cos(9π))=2+2cos(95π)cos(92π)cos(9π) On va maintenant, grâce à la présence du 2, faire usage de la relation 2cos(9π)sin(9π)=sin(92π). On a alors : S=2+sin(9π)2cos(95π)cos(92π)cos(9π)sin(9π)=2+sin(9π)cos(95π)cos(92π)sin(92π) De la même manière : S=2+2sin(9π)cos(95π)2cos(92π)sin(92π)=2+2sin(9π)cos(95π)sin(94π)=2+2sin(9π)cos(99π−4π)sin(94π) Ce qui nous donne (avec cos(π−x)=−cos(x) avec x∈R) : S=2+2sin(9π)cos(π−94π)sin(94π)=2−2sin(9π)cos(94π)sin(94π)=2−4sin(9π)2cos(94π)sin(94π) Mais : 2cos(94π)sin(94π)=sin(98π)=sin(99π−π)=sin(π−9π)=sin(9π) Ainsi, en remplaçant, l'expression de la somme recherchée S prend la forme suivante : S=2−4sin(9π)sin(9π) En simplifiant par sin(9π)=0, on obtient : S=2−41=48−41=\dfrac{8-1}{4} Finalement, la somme S recherchée vaut : S=k=1∑4cos2(k9π)=47