Trigonométrie

Résolution équations trigonométriques (rappel de terminale) - Exercice 4

15 min
30
Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
Question 1

cos(x+π3)=cos(2π3)\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)

Correction
cos(a)=cos(b){a=b+2kπoua=b+2kπ\cos \left(a\right)=\cos \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {-b+2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
cos(x+π3)=cos(2π3)\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)
Donc cos(x+π3)=cos(2π3)\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right) équivaut successivement à :
{x+π3=2π3+2kπoux+π3=2π3+2kπ\left\{\begin{array}{ccc} {x+\frac{\pi }{3}} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x+\frac{\pi }{3}} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
{x=2π3π3+2kπoux=2π3π3+2kπ\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
On réduit l'expression, il vient alors que :
{x=π3+2kπoux=π+2kπ\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont ici les solutions sur R\mathbb{R}.
On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
  • cos(x+π3)=cos(2π3){x=π3+2×0πoux=π+2×0π\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi +2\times 0\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos(x+π3)=cos(2π3){x=π3oux=π\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi } \end{array}\right.
    Or π3[0;2π[\frac{\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[ et π[0;2π[-\pi \notin \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment que la solution π3\frac{\pi }{3} .
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
  • cos(x+π3)=cos(2π3){x=π3+2×1πoux=π+2×1π\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : cos(x+π3)=cos(2π3){x=7π3oux=π\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{3} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi } \end{array}\right.
    Or 7π3[0;2π[\frac{7\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[ et π[0;2π[\pi \in \left[0;2\pi \right[.
    Finalement, les solutions de cos(x+π3)=cos(2π3)\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={π3;π}S=\left\{\frac{\pi }{3} ;\pi \right\}
    Si vous faites varier les valeurs de kk, tels que k2k\ge 2 ou k1k\le -1, les valeurs que vous obtiendrez ne seront pas sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[
    Question 2

    sin(xπ3)=sin(π4)\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
    sin(a)=sin(b){a=b+2kπoua=πb+2kπ\sin \left(a\right)=\sin \left(b\right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {b+2k\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {a} & {=} & {\pi -b+2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont les solutions sur R\mathbb{R}.
    sin(xπ3)=sin(π4){xπ3=π4+2kπouxπ3=ππ4+2kπ\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x-\frac{\pi }{3} } & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x-\frac{\pi }{3} } & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
    Donc sin(xπ3)=sin(π4){x=π4+π3+2kπoux=ππ4+π3+2kπ\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}.
    Enfin sin(xπ3)=sin(π4){x=7π12+2kπoux=13π12+2kπ\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2k\pi } \end{array}\right. avec kZk\in \mathbb{Z}. Ce sont ici les solutions sur R\mathbb{R}.
    On va faire varier la valeur de kk. Dans un premier temps on prendra k=0k=0, puis k=1k=1. En effet, avec ces deux valeurs de kk, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle [0;2π[\left[0;2\pi \right[.
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}} lorsque k=0k=0
  • sin(xπ3)=sin(π4){x=7π12+2×0πoux=13π12+2×0π\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2\times 0\pi } \end{array}\right. Donc sin(xπ3)=sin(π4){x=7π12oux=13π12\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} } \end{array}\right.
    Or 7π12[0;2π[\frac{7\pi }{12} \in \left[0;2\pi \right[ et 13π12[0;2π[\frac{13\pi }{12} \in \left[0;2\pi \right[. On garde pour le moment les solutions 7π12\frac{7\pi }{12} et 13π12\frac{13\pi }{12}.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} lorsque k=1k=1
  • sin(xπ3)=sin(π4){x=7π12+2×1πoux=13π12+2×1π\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2\times 1\pi } \end{array}\right.
    Donc : sin(xπ3)=sin(π4){x=31π12oux=37π12\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{31\pi }{12} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{37\pi }{12} } \end{array}\right.
    Or 31π12[0;2π[\frac{31\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[ et 37π12[0;2π[\frac{37\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[.
    Dans ce cas de figure, on va tester k=1k=-1.
    En effet, dès le début , lorsque k=0k=0 on a 13π12+2kπ\frac{13\pi }{12} +2k\pi et 13π12[0;2π[\frac{13\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[. Alors si on passe à k=1k=1, 13π12+2π\frac{13\pi }{12} +2\pi n'appartiendra pas également à [0;2π[\left[0;2\pi \right[
  •  Enfin :\red{\text{ Enfin :}} lorsque k=1k=-1
  • sin(xπ3)=sin(π4){x=7π12+2×(1)πoux=13π12+2×(1)π\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2\times \left(-1\right)\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2\times \left(-1\right)\pi } \end{array}\right.
    Donc : sin(xπ3)=sin(π4){x=17π12oux=11π12\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{17\pi }{12} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{11\pi }{12} } \end{array}\right.
    Or 17π12[0;2π[-\frac{17\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[ et 11π12[0;2π[-\frac{11\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[.
    Finalement, les solutions de sin(xπ3)=sin(π4)\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right) sur [0;2π[\left[0;2\pi \right[ sont
    S={7π12;13π12}S=\left\{\frac{7\pi }{12} ;\frac{13\pi }{12} \right\}