Résolution équations trigonométriques (rappel de terminale) - Exercice 4

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$$
Donc $$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x+\frac{\pi }{3}} & {=} & {\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x+\frac{\pi }{3}} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
On réduit l'expression, il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text {ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi +2k\pi } \end{array}\right.$$avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ce sont ici les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$. Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$. En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$.

$$\red{\text{ D'une part :}}$$ lorsque $$k=0$$

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi +2\times 0\pi } \end{array}\right.$$
Donc : $$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi } \end{array}\right.$$
Or $$\frac{\pi }{3} \in \left[0;2\pi \right[$$ et $$-\pi \notin \left[0;2\pi \right[$$. On garde pour le moment que la solution $$\frac{\pi }{3}$$.

$$\red{\text{ D'autre part :}}$$ lorsque $$k=1$$

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{3} +2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\pi +2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
Donc : $$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{3} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi } \end{array}\right.$$
Or $$\frac{7\pi }{3} \notin \left[0;2\pi \right[$$ et $$\pi \in \left[0;2\pi \right[$$.
Finalement, les solutions de $$\cos \left(x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3} \right)$$sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x-\frac{\pi }{3} } & {=} & {\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x-\frac{\pi }{3} } & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Donc $$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\frac{\pi }{4} +\frac{\pi }{3} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Enfin $$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2k\pi } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$. Ce sont ici les solutions sur $$\mathbb{R}$$.
On va faire varier la valeur de $$k$$. Dans un premier temps on prendra $$k=0$$, puis $$k=1$$. En effet, avec ces deux valeurs de $$k$$, on aura toutes les valeurs sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right[$$.

$$\red{\text{ D'une part :}}$$ lorsque $$k=0$$

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2\times 0\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2\times 0\pi } \end{array}\right.$$ Donc $$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} } \\ {} & {{\text ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} } \end{array}\right.$$
Or $$\frac{7\pi }{12} \in \left[0;2\pi \right[$$ et $$\frac{13\pi }{12} \in \left[0;2\pi \right[$$. On garde pour le moment les solutions $$\frac{7\pi }{12}$$ et $$\frac{13\pi }{12}$$.

$$\red{\text{ D'autre part :}}$$ lorsque $$k=1$$

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2\times 1\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2\times 1\pi } \end{array}\right.$$
Donc : $$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{31\pi }{12} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{37\pi }{12} } \end{array}\right.$$
Or $$\frac{31\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[$$ et $$\frac{37\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[$$.
Dans ce cas de figure, on va tester $$k=-1$$.
En effet, dès le début , lorsque $$k=0$$ on a $$\frac{13\pi }{12} +2k\pi$$ et $$\frac{13\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[$$. Alors si on passe à $$k=1$$, $$\frac{13\pi }{12} +2\pi$$ n'appartiendra pas également à $$\left[0;2\pi \right[$$

$$\red{\text{ Enfin :}}$$ lorsque $$k=-1$$

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {\frac{7\pi }{12} +2\times \left(-1\right)\pi } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{13\pi }{12} +2\times \left(-1\right)\pi } \end{array}\right.$$
Donc : $$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{17\pi }{12} } \\ {} & {\text{ou}} & {} \\ {x} & {=} & {-\frac{11\pi }{12} } \end{array}\right.$$
Or $$-\frac{17\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[$$ et $$-\frac{11\pi }{12} \notin \left[0;2\pi \right[$$.
Finalement, les solutions de $$\sin \left(x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4} \right)$$ sur $$\left[0;2\pi \right[$$ sont