Certaines équations trigonométrique demandent une attention toute particulière.
Question 1
Résoudre, dans R, les équations trigonométriques qui sont proposées à votre sagacité.
(E1):1−cos(4x)+3sin(2x)=0
Correction
Le terme en cos(4x) peut être exprimé en fonction de sin(2x). En effet, pour tout nombre réel X, on a la relation : sin2(X)=21−cos(2X) En posant X=2x, on obtient : sin2(2x)=21−cos(4x)⟺cos(4x)=1−2sin2(2x) Ce qui nous permet d'écrire que : (E1):1−(1−2sin2(2x))+3sin(2x)=0 Soit : (E1):1−1+2sin2(2x)+3sin(2x)=0 En simplifiant : (E1):2sin2(2x)+3sin(2x)=0 En factorisant : (E1):(2sin(2x)+3)sin(2x)=0 Ce qui nous donne : ⎩⎨⎧2sin(2x)+3sin(2x)==00⟺⎩⎨⎧sin(2x)sin(2x)==−230⟺⎩⎨⎧sin(2x)sin(2x)==sin(−3π)sin(0) Ainsi, avec k∈Z, on a : ⎩⎨⎧2x2x2x===−3π+k2ππ−(−3π)+k2π0+kπ⟺⎩⎨⎧2x2x2x===−3π+k2ππ+3π+k2π0+kπ⟺⎩⎨⎧2x2x2x===−3π+k2π34π+k2π0+kπ Or, d'après le cercle trigonométrique, on constate que 34π est équivalent à −32π dans l'intervalle ]−π;π]. D'où : ⎩⎨⎧2x2x2x===−3π+k2π−32π+k2π0+kπ⟺⎩⎨⎧xxx===−6π+kπ−3π+kπ0+k2π Finalement : SE1:{x=k2πoux=−3π+kπoux=−6π+kπavec :k∈Z}
Question 2
(E2):cos(2x)−3sin(2x)−2cos(x)=−1
Correction
On sait que sin(2x)=2sin(x)cos(x). Ainsi : (E2):cos(2x)−23sin(x)cos(x)−2cos(x)=−1 Puis, pour tout nombre réel X, on a sait que : cos2(X)=21+cos(2X) D'où cos(2X)=2cos2(X)−1 Ainsi : (E2):2cos2(x)−1−23sin(x)cos(x)−2cos(x)=−1 En simplifiant : (E2):2cos2(x)−23sin(x)cos(x)−2cos(x)=0 En factorisant : (E2):2cos(x)(cos(x)−3sin(x)−1)=0 Soit encore : (E2):4cos(x)(21cos(x)−23sin(x)−21)=0 Comme 4=0, ceci nous conduit à : ⎩⎨⎧cos(x)21cos(x)−23sin(x)−21==00⟺⎩⎨⎧cos(x)21cos(x)−23sin(x)==cos(2π)21 En appliquant la méthode décrite en préambule de ce chapitre, on recherche donc un nombre réel θ qui vérifient les deux conditions suivantes : ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==21−23⟺θ=−3π Ceci nous permet d'écrire que : cos(x−(−3π))=21 Ce qui s'écrit encore : cos(x+3π)=cos(3π) Ce qui nous permet d'écrire que : ⎩⎨⎧cos(x)cos(x+3π)==cos(2π)cos(3π) Ainsi, avec k∈Z, on a : ⎩⎨⎧xx+3πx+3π===2π+kπ3π+k2π−3π+k2π⟺⎩⎨⎧xxx===2π+kπ−3π+3π+k2π−3π−3π+k2π⟺⎩⎨⎧xxx===2π+kπ0+k2π−32π+k2π Finalement : SE2:{x=2π+kπoux=2kπoux=−32π+2kπavec :k∈Z}
Question 3
(E3):3cos2(x)+23sin(x)cos(x)+5sin2(x)−2=0
Correction
On a : (E3):3cos2(x)+3sin2(x)+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)−2=0 Soit : (E3):3(cos2(x)+sin2(x))+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)−2=0 Comme, pour tout nombre réel x, on a cos2(x)+sin2(x)=1, cela nous donne donc : (E3):3+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)−2=0 D'où : (E3):1+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)=0 De plus, on sait que pour tout nombre réel x, on a 2sin(x)cos(x)=sin(2x). On obtient alors : (E3):1+3sin(2x)+2sin2(x)=0 Mais, pour tout nombre réel x, on a la relation : sin2(x)=21−cos(2x)⟺2sin2(x)=1−cos(2x) Donc : (E3):1+3sin(2x)+1−cos(2x)=0 En additionnant : (E3):2+3sin(2x)−cos(2x)=0 Ainsi : (E3):3sin(2x)−cos(2x)=−2 En divisant par −2 : (E3):21cos(2x)−23sin(2x)=1 En appliquant la méthode décrite en préambule de ce chapitre, on recherche donc un nombre réel θ qui vérifient les deux conditions suivantes : ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==21−23⟺θ=−3π Ceci nous permet d'écrire que : (E3):cos(2x−(−3π))=1 Ainsi, avec k∈Z, on a (E3):cos(2x+3π)=cos(0) Ce qui nous permet d'écrire que : ⎩⎨⎧2x+3π2x+3π==0+k2π−0+k2π⟺2x+3π=k2π Ce qui nous donne : 2x=−3π+k2π Soit en divisant par 2 : x=−6π+kπ Finalement : SE3:{x=−6π+kπavec :k∈Z}
Question 4
(E4):cos(3x)+sin(3x)=21
Correction
En appliquant la méthode décrite en préambule, avec 12+12=1+1=2, on a : cos(3x)+sin(3x)=21⟺21cos(3x)+21sin(3x)=2×21⟺21cos(3x)+21sin(3x)=21 On recherche donc un nombre réel θ qui vérifient les deux conditions : ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==2121⟺θ=4π Ceci nous permet d'écrire que : cos(3x−4π)=21 Ce qui s'écrit encore : cos(3x−4π)=cos(3π) Ainsi, avec k∈Z, on a : ⎩⎨⎧3x−4π3x−4π=ou=3π+2kπ−3π+2kπ⟺⎩⎨⎧3x3x=ou=4π+3π+2kπ4π−3π+2kπ⟺⎩⎨⎧3x3x=ou=127π+2kπ−12π+2kπ En divisant par 3 on obtient : ⎩⎨⎧xx=ou=367π+k32π−36π+k32π Finalement, l'ensemble SE4 des solutions de l'équation (E4) sont : SE4:{x=367π+k32πoux=−36π+k32πavec :k∈Z}
Question 5
(E5):cos3(x)+sin3(x)=1
Correction
On sait que −1⩽sin(x)⩽1 et que −1⩽cos(x)⩽1. Ainsi, on en déduit que : ⎩⎨⎧−1−1⩽⩽sin3(x)cos3(x)⩽⩽11 Donc, pour avoir cos3(x)+sin3(x)=1 il faut impeˊrativement que les deux termes cos3(x) et sin3(x) soient positifs où nuls. En effet, si l'un de ces deux termes était strictement négatif, l'autre devrait être supérieur à l'unité, et cela n'est pas possible. Ainsi : ⎩⎨⎧00⩽⩽sin3(x)cos3(x)⩽⩽11⟹⎩⎨⎧00⩽⩽sin(x)cos(x)⩽⩽11⟹x∈[0+k2π;2π+k2π](k∈Z) Maintenant, considérons que x est dans ces intervalles, mais bornes exclus. Ainsi x∈]0+k2π;2π+k2π[(k∈Z), dans ce cas, on peut écrire que : ⎩⎨⎧00<<sin(x)cos(x)<<11 Ainsi, ces deux doubles inégalités implique que : ⎩⎨⎧sin3(x)cos3(x)<<sin2(x)cos2(x) Par addition, membre à membre, on obtient : sin3(x)+cos3(x)<sin2(x)+cos2(x) Soit encore : sin3(x)+cos3(x)<1 Dit autrement : sin3(x)+cos3(x)=1 On en conclut donc que sin3(x)+cos3(x)=1 n'est possible que si x est égale aux bornes des intervalles du type x∈[0+k2π;2π+k2π](k∈Z). Finalement, l'ensemble SE5 des solutions de l'équation (E5) sont : SE5:{x=k2πoux=2π+k2πavec :k∈Z}
Question 6
(E6):cos(x)1+sin(x)1+tan(x)1=tan(x)
Correction
Le terme tan(x) n'existe pas pour x=k2π, avec k∈Z. On recherche donc des solutions à (E6) appartenant à l'ensemble R∖{k2π;∈Z}. Afin de faire disparaître les quotients dans (E6), multiplions celle-ci par sin(x)×cos(x). On a alors : (E6):cos(x)sin(x)×cos(x)+sin(x)sin(x)×cos(x)+tan(x)sin(x)×cos(x)=sin(x)×cos(x)×tan(x) Soit encore : (E6):cos(x)sin(x)×cos(x)+sin(x)sin(x)×cos(x)+sin(x)sin(x)×cos(x)×cos(x)=sin(x)×cos(x)×cos(x)sin(x) En simplifiant, on obtient : (E6):sin(x)+cos(x)+cos2(x)=sin2(x) Ou encore : (E6):sin(x)+cos(x)+cos2(x)−sin2(x)=0 En utilisant l'identité remarquable A2−B2=(A+B)×(A−B), avec A=cos(x) et b=sin(x), on obtient alors : (E6):sin(x)+cos(x)+(cos(x)−sin(x))×(cos(x)+sin(x))=0 En factorisant par sin(x)+cos(x on trouve alors : (E6):(sin(x)+cos(x))(1+(cos(x)−sin(x)))=0 Soit : (E6):(sin(x)+cos(x))(1+cos(x)−sin(x))=0 Ce qui nous donne donc : ⎩⎨⎧sin(x)+cos(x)1+cos(x)−sin(x)==00⟺⎩⎨⎧sin(x)+cos(x)sin(x)−cos(x)==01 La première des deux équations, à savoir sin(x)+cos(x)=0, qui va s'écrire encore sin(x)=−cos(x), la solution est x=−4π+kπ ou bien de manière équivalente x=43π+kπ. Puis, en ce qui concerne la seconde équation sin(x)−cos(x)=1 on peut écrire que : sin(x)−cos(x)=1⟺21sin(x)−21cos(x)=21 On recherche donc un nombre réel θ qui vérifient les deux conditions : ⎩⎨⎧cos(θ)sin(θ)==−2121⟺θ=43π Ceci nous permet d'écrire que : cos(x−43π)=21 Ce qui s'écrit encore : cos(x−43π)=cos(4π) Ainsi, avec k∈Z, on a : ⎩⎨⎧x−43πx−43π=ou=4π+2kπ−4π+2kπ⟺⎩⎨⎧xx=ou=43π+4π+2kπ43π−4π+2kπ⟺⎩⎨⎧xx=ou=π+2kπ2π+2kπ Ces deux dernières solutions trouvées, juste ci-avant, sont à rejeter car les solutions de (E6) doivent appartenir à l'ensemble R∖{k2π;∈Z}. En conclusion : SE6:{x=43π+kπavec :k∈Z}
Question 7
(E7):tan(2x)=cotan(x)
Correction
Le terme tan(x) n'est pas définit lorsque x=2π+kπ, avec k∈Z. Ainsi, le terme tan(2x) n'est pas définit lorsque x=4π+k2π, avec k∈Z. Puis, le terme cotan(x)=tan(x)1, n'est pas définit lorsque x=kπ, avec k∈Z. Donc les solution recherchées à cette équation (E7) doivent toutes appartenir au domaine D=R∖({4π+k2π}∪{kπ};k∈Z) On a : (E7):cos(2x)sin(2x)=sin(x)cos(x) Soit : (E7):sin(2x)sin(x)=cos(x)cos(2x) Soit encore : (E7):0=cos(x)cos(2x)−sin(2x)sin(x) Avec les formules d'additions trigonométriques, on a directement : (E7):0=cos(x+2x) Ainsi : (E7):0=cos(3x) Ce qui nous permet d'écrire : 3x=2π