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Exercice 3 - C'est du sérieux ! - Exercice 1

1 h
90
Certaines équations trigonométrique demandent une attention toute particulière.
Question 1
Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations trigonométriques qui sont proposées à votre sagacité.

(E1):1cos(4x)+3sin(2x)=0(E_1) : \,\,\, 1 -\cos(4x) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0

Correction
Le terme en cos(4x)\cos(4x) peut être exprimé en fonction de sin(2x)\sin(2x). En effet, pour tout nombre réel XX, on a la relation :
sin2(X)=1cos(2X)2\sin^2(X) = \dfrac{1 - \cos(2X)}{2}
En posant X=2xX=2x, on obtient :
sin2(2x)=1cos(4x)2cos(4x)=12sin2(2x)\sin^2(2x) = \dfrac{1 - \cos(4x)}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)
Ce qui nous permet d'écrire que :
(E1):1(12sin2(2x))+3sin(2x)=0(E_1) : \,\,\, 1 - \left( 1 - 2\sin^2(2x) \right) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0
Soit :
(E1):11+2sin2(2x)+3sin(2x)=0(E_1) : \,\,\, 1 - 1 + 2\sin^2(2x) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0
En simplifiant :
(E1):2sin2(2x)+3sin(2x)=0(E_1) : \,\,\, 2\sin^2(2x) + \sqrt{3} \sin(2x) = 0
En factorisant :
(E1):(2sin(2x)+3)sin(2x)=0(E_1) : \,\,\, \left( 2\sin(2x) + \sqrt{3} \right) \sin(2x) = 0
Ce qui nous donne :
{2sin(2x)+3=0sin(2x)=0{sin(2x)=32sin(2x)=0{sin(2x)=sin(π3)sin(2x)=sin(0)\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2\sin(2x) + \sqrt{3} & = & 0 \\ & & \\ \sin(2x) & = & 0 \\\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(2x) & = & - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & & \\ \sin(2x) & = & 0 \\\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(2x) & = & \sin \left( -\dfrac{\pi}{3} \right) \\ & & \\ \sin(2x) & = & \sin(0) \\\end{array} \right.
Ainsi, avec kZk \in \mathbb{Z}, on a :
{2x=π3+k2π2x=π(π3)+k2π2x=0+kπ{2x=π3+k2π2x=π+π3+k2π2x=0+kπ{2x=π3+k2π2x=4π3+k2π2x=0+kπ\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \pi - \left( - \dfrac{\pi}{3} \right) + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \pi + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right.
Or, d'après le cercle trigonométrique, on constate que 4π3\dfrac{4\pi}{3} est équivalent à 2π3-\dfrac{2\pi}{3} dans l'intervalle ]π; π]]\, - \pi \,;\ \pi \,]. D'où :
{2x=π3+k2π2x=2π3+k2π2x=0+kπ{x=π6+kπx=π3+kπx=0+kπ2\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & -\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ 2x & = & 0 + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & - \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\ & & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ & & \\ x & = & 0 + k\dfrac{\pi}{2} \\ \end{array} \right.
Finalement :
SE1:{x=kπ2oux=π3+kπoux=π6+kπavec :kZ}{\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_1} : \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}
Question 2

(E2):cos(2x)3sin(2x)2cos(x)=1(E_2) : \,\,\, \cos(2x) - \sqrt{3} \sin(2x) - 2 \cos(x) = -1

Correction
On sait que sin(2x)=2sin(x)cos(x)\sin(2x) = 2\sin(x) \cos(x). Ainsi :
(E2):cos(2x)23sin(x)cos(x)2cos(x)=1(E_2) : \,\,\, \cos(2x) - 2\sqrt{3} \sin(x) \cos(x) - 2 \cos(x) = -1
Puis, pour tout nombre réel XX, on a sait que :
cos2(X)=1+cos(2X)2\cos^2(X) = \dfrac{1 + \cos(2X)}{2}
D'où
cos(2X)=2cos2(X)1\cos(2X) = 2\cos^2(X) - 1
Ainsi :
(E2):2cos2(x)123sin(x)cos(x)2cos(x)=1(E_2) : \,\,\, 2\cos^2(x) - 1 - 2\sqrt{3} \sin(x) \cos(x) - 2 \cos(x) = -1
En simplifiant :
(E2):2cos2(x)23sin(x)cos(x)2cos(x)=0(E_2) : \,\,\, 2\cos^2(x) - 2\sqrt{3} \sin(x) \cos(x) - 2 \cos(x) = 0
En factorisant :
(E2):2cos(x)(cos(x)3sin(x)1)=0(E_2) : \,\,\, 2\cos(x) \left( \cos(x) - \sqrt{3} \sin(x) - 1 \right) = 0
Soit encore :
(E2):4cos(x)(12cos(x)32sin(x)12)=0(E_2) : \,\,\, 4\cos(x) \left( \dfrac{1}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \dfrac{1}{2} \right) = 0
Comme 404 \neq 0, ceci nous conduit à :
{cos(x)=012cos(x)32sin(x)12=0{cos(x)=cos(π2)12cos(x)32sin(x)=12\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & 0 \\ & & \\ \dfrac{1}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \dfrac{1}{2} & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ & & \\ \dfrac{1}{2}\cos(x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right.
En appliquant la méthode décrite en préambule de ce chapitre, on recherche donc un nombre réel θ\theta qui vérifient les deux conditions suivantes :
{cos(θ)=12sin(θ)=32θ=π3\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = - \dfrac{\pi}{3}
Ceci nous permet d'écrire que :
cos(x(π3))=12\cos\left( x - \left(-\dfrac{\pi}{3} \right)\right) = \dfrac{1}{2}
Ce qui s'écrit encore :
cos(x+π3)=cos(π3)\cos\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)
Ce qui nous permet d'écrire que :
{cos(x)=cos(π2)cos(x+π3)=cos(π3)\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ & & \\ \cos\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) & = & \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) \\ \end{array} \right.
Ainsi, avec kZk \in \mathbb{Z}, on a :
{x=π2+kπx+π3=π3+k2πx+π3=π3+k2π{x=π2+kπx=π3+π3+k2πx=π3π3+k2π{x=π2+kπx=0+k2πx=2π3+k2π\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x + \dfrac{\pi}{3} & = & \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ x + \dfrac{\pi}{3} & = & -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x & = & 0 + k2\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \end{array} \right.
Finalement :
SE2:{x=π2+kπoux=2kπoux=2π3+2kπavec :kZ}{\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_2} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}
Question 3

(E3):3cos2(x)+23sin(x)cos(x)+5sin2(x)2=0(E_3) : \,\,\, 3\cos^2(x) + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 5 \sin^2(x) -2 = 0

Correction
On a :
(E3):3cos2(x)+3sin2(x)+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)2=0(E_3) : \,\,\, 3\cos^2(x) + 3 \sin^2(x) + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) -2 = 0
Soit :
(E3):3(cos2(x)+sin2(x))+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)2=0(E_3) : \,\,\, 3 \left( \cos^2(x) + \sin^2(x) \right) + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) -2 = 0
Comme, pour tout nombre réel xx, on a cos2(x)+sin2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1, cela nous donne donc :
(E3):3+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)2=0(E_3) : \,\,\, 3 + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) -2 = 0
D'où :
(E3):1+23sin(x)cos(x)+2sin2(x)=0(E_3) : \,\,\, 1 + 2\sqrt{3} \sin(x)\cos(x) + 2 \sin^2(x) = 0
De plus, on sait que pour tout nombre réel xx, on a 2sin(x)cos(x)=sin(2x)2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x). On obtient alors :
(E3):1+3sin(2x)+2sin2(x)=0(E_3) : \,\,\, 1 + \sqrt{3} \sin(2x) + 2 \sin^2(x) = 0
Mais, pour tout nombre réel xx, on a la relation :
sin2(x)=1cos(2x)22sin2(x)=1cos(2x)\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)
Donc :
(E3):1+3sin(2x)+1cos(2x)=0(E_3) : \,\,\, 1 + \sqrt{3} \sin(2x) + 1 - \cos(2x) = 0
En additionnant :
(E3):2+3sin(2x)cos(2x)=0(E_3) : \,\,\, 2 + \sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = 0
Ainsi :
(E3):3sin(2x)cos(2x)=2(E_3) : \,\,\, \sqrt{3} \sin(2x) - \cos(2x) = -2
En divisant par 2-2 :
(E3):12cos(2x)32sin(2x)=1(E_3) : \,\,\, \dfrac{1}{2}\cos(2x) - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x) = 1
En appliquant la méthode décrite en préambule de ce chapitre, on recherche donc un nombre réel θ\theta qui vérifient les deux conditions suivantes :
{cos(θ)=12sin(θ)=32θ=π3\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = - \dfrac{\pi}{3}
Ceci nous permet d'écrire que :
(E3):cos(2x(π3))=1(E_3) : \,\,\, \cos\left( 2x - \left(-\dfrac{\pi}{3} \right)\right) = 1
Ainsi, avec kZk \in \mathbb{Z}, on a
(E3):cos(2x+π3)=cos(0)(E_3) : \,\,\, \cos\left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos\left( 0 \right)
Ce qui nous permet d'écrire que :
{2x+π3=0+k2π2x+π3=0+k2π2x+π3=k2π\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x + \dfrac{\pi}{3} & = & 0 + k2\pi \\ & & \\ 2x + \dfrac{\pi}{3} & = & - 0 + k2\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, 2x + \dfrac{\pi}{3} = k2\pi
Ce qui nous donne :
2x=π3+k2π2x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi
Soit en divisant par 22 :
x=π6+kπx = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi
Finalement :
SE3:{x=π6+kπavec :kZ}{\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_3} : \left\lbrace x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}
Question 4

(E4):cos(3x)+sin(3x)=12(E_4) : \,\,\, \cos(3x) + \sin(3x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}

Correction
En appliquant la méthode décrite en préambule, avec 12+12=1+1=2\sqrt{1^2+1^2}= \sqrt{1+1} = \sqrt{2}, on a :
cos(3x)+sin(3x)=1212cos(3x)+12sin(3x)=12×212cos(3x)+12sin(3x)=12\cos(3x) + \sin(3x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) = \dfrac{1}{2}
On recherche donc un nombre réel θ\theta qui vérifient les deux conditions :
{cos(θ)=12sin(θ)=12θ=π4\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta=\dfrac{\pi}{4}
Ceci nous permet d'écrire que :
cos(3xπ4)=12\cos\left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{2}
Ce qui s'écrit encore :
cos(3xπ4)=cos(π3)\cos\left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)
Ainsi, avec kZk \in \mathbb{Z}, on a :
{3xπ4=π3+2kπou3xπ4=π3+2kπ{3x=π4+π3+2kπou3x=π4π3+2kπ{3x=7π12+2kπou3x=π12+2kπ\left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x - \dfrac{\pi}{4} & = & \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x - \dfrac{\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x & = & \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x & = & \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x & = & \dfrac{7\pi}{12} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x & = & -\dfrac{\pi}{12}+2k\pi \\ \end{array} \right.
En divisant par 33 on obtient :
{x=7π36+k2π3oux=π36+k2π3\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{7\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.
Finalement, l'ensemble SE4\mathcal{S}_{E_4} des solutions de l'équation (E4)(E_4) sont :
SE4:{x=7π36+k2π3oux=π36+k2π3avec :kZ}{\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_4} : \left\lbrace x = \dfrac{7\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}
Question 5

(E5):cos3(x)+sin3(x)=1(E_5) : \,\,\, \cos^3(x) + \sin^3(x) = 1

Correction
On sait que 1sin(x)1-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 et que 1cos(x)1-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1. Ainsi, on en déduit que :
{1sin3(x)11cos3(x)1\left\lbrace \begin{array}{crcrc} -1 & \leqslant & \sin^3(x) & \leqslant & 1 \\ & & & & \\ -1 & \leqslant & \cos^3(x) & \leqslant & 1 \\ \end{array} \right.
Donc, pour avoir cos3(x)+sin3(x)=1\cos^3(x) + \sin^3(x) = 1 il faut impeˊrativement\color{red}{\text{impérativement}} que les deux termes cos3(x)\cos^3(x) et sin3(x)\sin^3(x) soient positifs\color{red}{\text{positifs}}nuls\color{red}{\text{nuls}}. En effet, si l'un de ces deux termes était strictement négatif, l'autre devrait être supérieur à l'unité, et cela n'est pas possible. Ainsi :
{0sin3(x)10cos3(x)1{0sin(x)10cos(x)1x[0+k2π;π2+k2π](kZ)\left\lbrace \begin{array}{crcrc} 0 & \leqslant & \sin^3(x) & \leqslant & 1 \\ & & & & \\ 0 & \leqslant & \cos^3(x) & \leqslant & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{crcrc} 0 & \leqslant & \sin(x) & \leqslant & 1 \\ & & & & \\ 0 & \leqslant & \cos(x) & \leqslant & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, x \in \left\lbrack 0 + k2\pi \,;\, \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right\rbrack \,\,\, (k \in \mathbb{Z})
Maintenant, considérons que xx est dans ces intervalles, mais bornes exclus. Ainsi x]0+k2π;π2+k2π[(kZ)x \in \left\rbrack 0 + k2\pi \,;\, \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right\lbrack \,\,\, (k \in \mathbb{Z}), dans ce cas, on peut écrire que :
{0<sin(x)<10<cos(x)<1\left\lbrace \begin{array}{crcrc} 0 & < & \sin(x) & < & 1 \\ & & & & \\ 0 & < & \cos(x) & < & 1 \\ \end{array} \right.
Ainsi, ces deux doubles inégalités implique que :
{sin3(x)<sin2(x)cos3(x)<cos2(x)\left\lbrace \begin{array}{crc} \sin^3(x) & < & \sin^2(x) \\ & & \\ \cos^3(x) & < & \cos^2(x) \\ \end{array} \right.
Par addition, membre à membre, on obtient :
sin3(x)+cos3(x)<sin2(x)+cos2(x)\sin^3(x) + \cos^3(x) < \sin^2(x) + \cos^2(x)
Soit encore :
sin3(x)+cos3(x)<1\sin^3(x) + \cos^3(x) < 1
Dit autrement :
sin3(x)+cos3(x)1\sin^3(x) + \cos^3(x) \neq 1
On en conclut donc que sin3(x)+cos3(x)=1\sin^3(x) + \cos^3(x) = 1 n'est possible que si xx est égale aux bornes des intervalles du type x[0+k2π;π2+k2π](kZ)x \in \left\lbrack 0 + k2\pi \,;\, \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \right\rbrack \,\,\, (k \in \mathbb{Z}).
Finalement, l'ensemble SE5\mathcal{S}_{E_5} des solutions de l'équation (E5)(E_5) sont :
SE5:{x=k2πoux=π2+k2πavec :kZ}{\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_5} : \left\lbrace x = k2\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}
Question 6

(E6):1cos(x)+1sin(x)+1tan(x)=tan(x)(E_6) : \,\,\, \dfrac{1}{\cos(x)} + \dfrac{1}{\sin(x)} + \dfrac{1}{\tan(x)}= \tan(x)

Correction
Le terme tan(x)\tan(x) n'existe pas pour x=kπ2x = k \dfrac{\pi}{2}, avec kZk \in \mathbb{Z}. On recherche donc des solutions à (E6)(E_6) appartenant à l'ensemble R{kπ2;Z}\mathbb{R} \setminus \left\lbrace k \dfrac{\pi}{2} \,;\, \in \mathbb{Z}\right\rbrace.
Afin de faire disparaître les quotients dans (E6)(E_6), multiplions celle-ci par sin(x)×cos(x)\sin(x) \times \cos(x). On a alors :
(E6):sin(x)×cos(x)cos(x)+sin(x)×cos(x)sin(x)+sin(x)×cos(x)tan(x)=sin(x)×cos(x)×tan(x)(E_6) : \,\,\, \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\sin(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\tan(x)} = \sin(x) \times \cos(x) \times \tan(x)
Soit encore :
(E6):sin(x)×cos(x)cos(x)+sin(x)×cos(x)sin(x)+sin(x)×cos(x)×cos(x)sin(x)=sin(x)×cos(x)×sin(x)cos(x)(E_6) : \,\,\, \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\cos(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x)}{\sin(x)} + \dfrac{\sin(x) \times \cos(x) \times \cos(x)}{\sin(x)} = \sin(x) \times \cos(x) \times \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}
En simplifiant, on obtient :
(E6):sin(x)+cos(x)+cos2(x)=sin2(x)(E_6) : \,\,\, \sin(x) + \cos(x) + \cos^2(x) = \sin^2(x)
Ou encore :
(E6):sin(x)+cos(x)+cos2(x)sin2(x)=0(E_6) : \,\,\, \sin(x) + \cos(x) + \cos^2(x) - \sin^2(x)= 0
En utilisant l'identité remarquable A2B2=(A+B)×(AB)A^2-B^2 = (A+B) \times (A-B), avec A=cos(x)A = \cos(x) et b=sin(x)b = \sin(x), on obtient alors :
(E6):sin(x)+cos(x)+(cos(x)sin(x))×(cos(x)+sin(x))=0(E_6) : \,\,\, \sin(x) + \cos(x) + \left(\cos(x) - \sin(x) \right) \times \left(\cos(x) + \sin(x) \right)= 0
En factorisant par sin(x)+cos(x\sin(x) + \cos(x on trouve alors :
(E6):(sin(x)+cos(x))(1+(cos(x)sin(x)))=0(E_6) : \,\,\, \left( \sin(x) + \cos(x) \right) \left( 1 + \left(\cos(x) - \sin(x) \right) \right)= 0
Soit :
(E6):(sin(x)+cos(x))(1+cos(x)sin(x))=0(E_6) : \,\,\, \left( \sin(x) + \cos(x) \right) \left( 1 + \cos(x) - \sin(x) \right) = 0
Ce qui nous donne donc :
{sin(x)+cos(x)=01+cos(x)sin(x)=0{sin(x)+cos(x)=0sin(x)cos(x)=1\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \cos(x) & = & 0 \\ & & \\ 1 + \cos(x) - \sin(x) & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(x) + \cos(x) & = & 0 \\ & & \\ \sin(x) - \cos(x) & = & 1 \\ \end{array} \right.
La première des deux équations, à savoir sin(x)+cos(x)=0\sin(x) + \cos(x) = 0, qui va s'écrire encore sin(x)=cos(x)\sin(x) = - \cos(x), la solution est x=π4+kπx = - \dfrac{\pi}{4} + k\pi ou bien de manière équivalente x=3π4+kπx = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi. Puis, en ce qui concerne la seconde équation sin(x)cos(x)=1\sin(x) - \cos(x) = 1 on peut écrire que :
sin(x)cos(x)=112sin(x)12cos(x)=12\sin(x) - \cos(x) = 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin(x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
On recherche donc un nombre réel θ\theta qui vérifient les deux conditions :
{cos(θ)=12sin(θ)=12θ=3π4\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta=\dfrac{3\pi}{4}
Ceci nous permet d'écrire que :
cos(x3π4)=12\cos\left( x - \dfrac{3\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}
Ce qui s'écrit encore :
cos(x3π4)=cos(π4)\cos\left( x - \dfrac{3\pi}{4} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)
Ainsi, avec kZk \in \mathbb{Z}, on a :
{x3π4=π4+2kπoux3π4=π4+2kπ{x=3π4+π4+2kπoux=3π4π4+2kπ{x=π+2kπoux=π2+2kπ\left\lbrace \begin{array}{rcr} x - \dfrac{3\pi}{4} & = & \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x - \dfrac{3\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{3\pi}{4} -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \pi + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{\pi}{2}+2k\pi \\ \end{array} \right.
Ces deux dernières solutions trouvées, juste ci-avant, sont à rejeter car les solutions de (E6)(E_6) doivent appartenir à l'ensemble R{kπ2;Z}\mathbb{R} \setminus \left\lbrace k \dfrac{\pi}{2} \,;\, \in \mathbb{Z}\right\rbrace. En conclusion :
SE6:{x=3π4+kπavec :kZ}{\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_6} : \left\lbrace x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}
Question 7

(E7):tan(2x)=cotan(x)(E_7) : \,\,\, \tan(2x) = \text{cotan}(x)

Correction
Le terme tan(x)\tan(x) n'est pas définit lorsque x=π2+kπx = \dfrac{\pi}{2} + k \pi, avec kZk \in \mathbb{Z}. Ainsi, le terme tan(2x)\tan(2x) n'est pas définit lorsque x=π4+kπ2x = \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{\pi}{2}, avec kZk \in \mathbb{Z}.
Puis, le terme cotan(x)=1tan(x)\text{cotan}(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}, n'est pas définit lorsque x=kπx=k\pi, avec kZk \in \mathbb{Z}. Donc les solution recherchées à cette équation (E7)(E_7) doivent toutes appartenir au domaine D=R({π4+kπ2}{kπ};kZ)D = \mathbb{R} \setminus \left( \left\lbrace \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{\pi}{2} \right\rbrace \cup \left\lbrace k\pi \right\rbrace \,\, ; \,\, k \in \mathbb{Z}\right)
On a :
(E7):sin(2x)cos(2x)=cos(x)sin(x)(E_7) : \,\,\, \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}
Soit :
(E7):sin(2x)sin(x)=cos(x)cos(2x)(E_7) : \,\,\, \sin(2x)\sin(x) = \cos(x)\cos(2x)
Soit encore :
(E7):0=cos(x)cos(2x)sin(2x)sin(x)(E_7) : \,\,\, 0 = \cos(x)\cos(2x) - \sin(2x)\sin(x)
Avec les formules d'additions trigonométriques, on a directement :
(E7):0=cos(x+2x)(E_7) : \,\,\, 0 = \cos(x+2x)
Ainsi :
(E7):0=cos(3x)(E_7) : \,\,\, 0 = \cos(3x)
Ce qui nous permet d'écrire :
3x=π2+kπ(kZ)3x = \dfrac{\pi}{2} + k \pi \,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})