Exercice 2 - On monte en puissance - Exercice 1

On sait que pour deux nombres réels $$a$$ et $$b$$, on a la relation suivante :
$$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos \left( \dfrac{a+b}{2}\right) \cos \left( \dfrac{a-b}{2}\right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\cos(2x) + \cos(4x) = 2 \cos \left( \dfrac{2x+4x}{2}\right) \cos \left( \dfrac{2x-4x}{2}\right) = 2 \cos \left( \dfrac{6x}{2}\right) \cos \left( \dfrac{-2x}{2}\right) = 2 \cos \left( 3x\right) \cos \left( -x\right)$$
or, $$\forall x \in \mathbb{R}$$, on a $$\cos(-x) = \cos(x)$$ car la fonction cosinus est paire. Ainsi :
$$\cos(2x) + \cos(4x) = 2 \cos(3x) \cos (x)$$
Donc, on obtient :
$$2 \cos(3x) \cos (x) = 2 \cos(x) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \cos(3x) \cos (x) = \cos(x) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \cos(x) \left( \cos(3x) -1 \right) = 0$$
Ce qui nous donne :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & 0 \\ \cos(3x) - 1 & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & 0 \\ \cos(3x) & = & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \cos(3x) & = & \cos(0) \\ \end{array} \right.$$
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$, on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \pm \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 3x & = & \pm 0 + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \pm \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ 3x & = & k2\pi \\ \end{array} \right.$$
Finalement, l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_1}$$ de l'équation $$E_1$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_1} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

On sait que pour deux nombres réels $$a$$ et $$b$$, on a la relation suivante :
$$\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin \left( \dfrac{a+b}{2}\right) \cos \left( \dfrac{a-b}{2}\right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\sin(3x) + \sin(5x) = 2 \sin \left( \dfrac{3x+5x}{2}\right) \cos \left( \dfrac{3x-5x}{2}\right) = 2 \sin \left( \dfrac{8x}{2}\right) \cos \left( \dfrac{-2x}{2}\right) = 2 \sin \left( 4x\right) \cos \left( -x\right)$$
or, $$\forall x \in \mathbb{R}$$, on a $$\cos(-x) = \cos(x)$$ car la fonction cosinus est paire. Ainsi :
$$\sin(3x) + \sin(5x) = 2 \sin(4x) \cos (x)$$
Donc, on obtient :
$$2 \sin(4x) \cos (x) = 2 \sin(4x) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sin(4x) \cos (x) = \sin(4x) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sin(4x) \left( \cos(x) - 1 \right) = 0$$
Ce qui nous donne :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(4x) & = & 0 \\ \cos(x) - 1 & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(4x) & = & 0 \\ \cos(x) & = & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(4x) & = & \sin (0) \\ \cos(x) & = & \cos(0) \\ \end{array} \right.$$
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$, on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 4x & = & 0 + k\pi \\ x & = & 0 + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & k\dfrac{\pi}{4} \\ x & = & k2\pi \\ \end{array} \right.$$
On remarque alors que les solutions du type $$x = k2\pi$$ sont incluses dans celles du type $$x = k\dfrac{\pi}{4}$$.
Finalement, l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_2}$$ de l'équation $$E_2$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_2} : \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Soit $$a$$ et $$b$$ feux nombres réels. On a les deux relation suivantes :
$$\,\, \bullet \,\, \cos(a) - \cos(b) = -2 \sin \left( \dfrac{a+b}{2} \right) \sin \left( \dfrac{a-b}{2} \right)$$
$$\,\, \bullet \,\, \sin(a) + \sin(b) = 2 \sin \left( \dfrac{a+b}{2} \right) \cos \left( \dfrac{a-b}{2} \right)$$
L'équation $$(E_3)$$ prend donc la forme suivante :
$$-2 \sin \left( \dfrac{3x+5x}{2} \right) \sin \left( \dfrac{3x-5x}{2} \right) = 2 \sin \left( \dfrac{6x+2x}{2} \right) \cos \left( \dfrac{6x-2x}{2} \right)$$
Soit :
$$- \sin \left( 4x \right) \sin \left( -x \right) = \sin \left( 4x \right) \cos \left( -2x \right)$$
La fonction cosinus étant paire, on a donc $$\cos \left( -2x \right) = \cos(2x)$$, et la fonction sinus est impaire, et de fait $$\sin \left( -x \right) = -\sin(x)$$. Donc :
$$\sin (4x) \sin(x) = \sin(4x) \cos(2x) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \sin (4x) \sin(x) - \sin(4x) \cos(2x) = 0$$
En factorisant :
$$\sin (4x) \left( \sin(x) - \cos(2x) \right) = 0$$
Cependant, on sait que $$\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$$ ce qui implique que $$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$$. Donc :
$$\sin (4x) \left( \sin(x) - \left(1 - 2\sin^2(x) \right) \right) = 0$$
D'où :
$$\sin (4x) \left( 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1\right) = 0$$
Ce qui implique que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(4x) & = & 0 \\ 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 & = & 0 \\ \end{array} \right.$$
En posant $$X=\sin(x)$$ on obtient $$2X^2+X-1=0$$, ainsi $$X = \sin(x) = -1$$ et $$X = \sin(x) = \dfrac{1}{2}$$. Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(4x) & = & 0 \\ \sin(x) & = & -1 \\ \sin(x) & = & \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(4x) & = & \sin(0) \\ \sin(x) & = & \sin\left( \dfrac{3\pi}{2} \right) \\ \sin(x) & = & \sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right) \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$ :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 4x & = & 0 + k\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ & & \\ x & = & \pi - \dfrac{\pi}{6} + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & k\dfrac{\pi}{4} \\ & & \\ x & = & \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\ \end{array} \right.$$
Finalement l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_3}$$ de l'équation $$E_3$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_3} : \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \hspace{0.5cm}\text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Soit $$a$$ un nombre réel. On sait que :
$$\cos^2(a) = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1$$
Avec $$a=2x$$, on obtient :
$$\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$$
Ainsi l'équation $$(E_4)$$ devient :
$$(E_4) \,\, : \,\, 1 + \cos(2x) + 2\cos^2(2x) - 1 = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \cos(2x) + 2\cos^2(2x) = 0$$
En factorisant par le terme $$\cos(2x)$$, on obtient :
$$(E_4) \,\, : \,\, \cos(2x) \left( 1 + 2\cos(2x) \right) = 0$$
Ce qui nous donne :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(2x) & = & 0 \\ 1+2\cos(2x) & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(2x) & = & 0 \\ \cos(2x) & = & -\dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(2x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \cos(2x) & = & \cos \left( -\dfrac{2\pi}{3} \right) \\ \end{array} \right.$$
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$, on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ 2x & = & -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ 2x & = & \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \\ x & = & -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ x & = & \dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ \end{array} \right.$$
Finalement l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_4}$$ de l'équation $$E_4$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_4} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Soit $$a$$ et $$b$$ feux nombres réels. On a les deux relation suivantes :
$$\,\, \bullet \,\, \sin(a) + \sin(b) = 2 \sin \left( \dfrac{a+b}{2} \right) \cos \left( \dfrac{a-b}{2} \right)$$
L'équation $$(E_5)$$ prend donc la forme suivante :
$$(E_5) \,\, : \,\, 2 \sin \left( \dfrac{2x+4x}{2} \right) \cos \left( \dfrac{2x-4x}{2} \right) + \sin(6x) = 0$$
Soit :
$$(E_5) \,\, : \,\, 2 \sin \left( \dfrac{6x}{2} \right) \cos \left( -\dfrac{2x}{2} \right) + \sin(6x) = 0$$
Ainsi :
$$(E_5) \,\, : \,\, 2 \sin \left( 3x \right) \cos \left( -x\right) + \sin(6x) = 0$$
La fonction cosinus étant paire, on a alors $$\cos \left( -x\right) = \cos \left( x\right)$$. Donc :
$$(E_5) \,\, : \,\, 2 \sin \left( 3x \right) \cos \left( x\right) + \sin(6x) = 0$$
La présence du terme $$\sin \left( 3x \right)$$ nous invite à l'écriture suivante du terme $$\sin(6x)$$ :
$$\sin(6x) = 2 \sin(3x) \cos(3x)$$
Et de fait, on obtient :
$$(E_5) \,\, : \,\, 2 \sin (3x) \cos(x) + 2\sin(3x) \cos(3x) = 0$$
En factorisant :
$$(E_5) \,\, : \,\, 2 \sin (3x) \left( \cos(x) + \cos(3x) \right) = 0$$
Puis, on a également :
$$\cos(x) + \cos(3x) = 2 \cos \left( \dfrac{x+3x}{2} \right) \cos \left( \dfrac{x-3x}{2} \right) = 2 \cos \left( \dfrac{4x}{2} \right) \cos \left( -\dfrac{2x}{2} \right) = 2 \cos \left( 2x \right) \cos \left( -x \right)$$
Et comme la fonction cosinus est paire :
$$\cos(x) + \cos(3x) = 2 \cos \left( 2x \right) \cos \left( x \right)$$
De fait, on obtient alors :
$$(E_5) \,\, : \,\, 4 \sin (3x) \cos(2x) \cos(x) = 0$$
Soit encore :
$$(E_5) \,\, : \,\, \sin (3x) \cos(2x) \cos(x) = 0$$
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$, on a alors :
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$, on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(3x) & = & 0 \\ \cos(2x) & = & 0 \\ \cos(x) & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sin(3x) & = & \sin(0) \\ \cos(2x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \cos(x) & = & \cos \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \end{array} \right.$$
Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 3x & = & 0 + k\pi \\ & & \\ 2x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} x & = & 0 + k\dfrac{\pi}{3} \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{array} \right.$$
Finalement l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_5}$$ de l'équation $$E_5$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_5} : \left\lbrace x = k\dfrac{\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

On a :
$$\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) + \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = - \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Comme la fonction sinus est impaire, on obtient alors :
$$\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \sin\left( \dfrac{\pi}{3} - 2x\right)$$
Mais, pour tout nombre $$a$$ réel, on a :
$$\sin(a) = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} - a\right)$$
D'où :
$$\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \dfrac{\pi}{2} - \left( \dfrac{\pi}{3} - 2x \right)\right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( 2x + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos \left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on peut écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x + \dfrac{\pi}{4} & = & 2x + \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ & & \\ x + \dfrac{\pi}{4} & = & -\left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x - 2x & = & \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ & & \\ x + 2x & = & - \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} -x & = & -\dfrac{\pi}{12} + k2\pi \\ & & \\ 3x & = & - \dfrac{5\pi}{12} + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = &\dfrac{\pi}{12} - k2\pi \\ & & \\ x & = & - \dfrac{5\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.$$
Comme $$k \in \mathbb{Z}$$, alors $$-k \in \mathbb{Z}$$ également.
Finalement l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_6}$$ de l'équation $$E_6$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_6} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{12} + 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = - \dfrac{5\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

Soit $$a$$ et $$b$$ deux nombres entiers naturels. On sait que :
$$\cos(a) \times \sin(b) = \dfrac{1}{2} \left( \sin(a+b) - \sin(a-b)\right)$$
ainsi, l'équation $$(E_7)$$ prend la forme suivante :
$$(E_7) \,\, : \,\, \dfrac{1}{2} \left( \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} + x + \dfrac{\pi}{6} \right) - \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} - x - \dfrac{\pi}{6} \right)\right)= - \dfrac{1+\sqrt{3}}{4}$$
Soit en simplifiant par $$\dfrac{1}{2}$$ :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} + x + \dfrac{\pi}{6} \right) - \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} - x - \dfrac{\pi}{6} \right) = - \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$$
Ce qui nous donne :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) - \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = - \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$$
Mais comme $$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$$, on obtient alors :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) = - \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}$$
Qui prend la forme :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) = - \dfrac{1+\sqrt{3} - 1}{2}$$
D'où :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Ecrivons ceci sous la forme suivante :
$$(E_7) \,\, : \,\, -\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Comme la fonction sinus est impaire, on a alors :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( - 2x - \dfrac{\pi}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Puis, comme $$\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$, on en déduit que :
$$(E_7) \,\, : \,\, \sin\left( - 2x - \dfrac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$. On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} - 2x - \dfrac{\pi}{2} & = & \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ & & \\ - 2x - \dfrac{\pi}{2} & = & \pi-\dfrac{\pi}{3} + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x + \dfrac{\pi}{2} & = & -\dfrac{\pi}{3} - k2\pi \\ & & \\ 2x + \dfrac{\pi}{2} & = & -\pi+\dfrac{\pi}{3} - k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x + \dfrac{\pi}{2} & = & -\dfrac{\pi}{3} - k2\pi \\ & & \\ 2x + \dfrac{\pi}{2} & = & -\dfrac{2\pi}{3} - k2\pi\\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & -\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3} - k2\pi \\ & & \\ 2x & = & -\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{3} - k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & -\dfrac{5\pi}{6} - k2\pi \\ & & \\ 2x & = & -\dfrac{7\pi}{6} - k2\pi\\ \end{array} \right.$$

On constate que $$-\dfrac{7\pi}{6}$$ se trouve au même endroit que $$\dfrac{5\pi}{6}$$. Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & -\dfrac{5\pi}{6} - k2\pi \\ & & \\ 2x & = & \dfrac{5\pi}{6} - k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & -\dfrac{5\pi}{12} - k\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{5\pi}{12} - k\pi\\ \end{array} \right.$$
Comme $$k \in \mathbb{Z}$$ alors $$-k \in \mathbb{Z}$$.
Finalement l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_7}$$ de l'équation $$E_7$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_7} : \left\lbrace x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = - \dfrac{5\pi}{12} + k\pi\hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

La présence des deux racines carrées impose d'avoir $$\sin(x) \geqslant 0$$ et aussi $$\cos(x) \geqslant 0$$. Ceci impose que $$x \in \left[ 0\,;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$$, et de manière plus générale, on a avec $$k \in \mathbb{Z}$$ :
$$x \in \left[ k2\pi \,;\, k2\pi + \dfrac{\pi}{2} \right]$$
Lorsque $$x$$ appartient à l'un de des intervalles du type ($${\color{red}{\text{attention}}}$$ aux bornes) :
$$x \in \left] k2\pi \,;\, k2\pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$$
dans ce cas on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{ccccc} 0 x = & < & \sin(x) & < & 1 \\ 0 & < & \cos(x) & < & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \longrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{ccccc} \sin^2(x) & < & \sin(x) & < & \sqrt{\sin(x)} \\ \cos^2(x) & < & \cos(x) & < & \sqrt{\cos(x)} \\ \end{array} \right.$$
Par addition, membres à membres, on peut donc écrire que :
$$\sqrt{\cos(x)} + \sqrt{\sin(x)} > \cos^2(x) + \sin^2(x)$$
Soit :
$$\sqrt{\cos(x)} + \sqrt{\sin(x)} > 1$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on constate que tout $$x \in \left] k2\pi \,;\, k2\pi + \dfrac{\pi}{2} \right[$$ ne peut être solution de l'équation $$(E_8)$$. De fait, $${\color{red}{\text{les seules}}}$$ solutions possibles sont les bornes de l'intervalle $$\left[ k2\pi \,;\, k2\pi + \dfrac{\pi}{2} \right]$$. En effet :
$$\,\, {\color{blue}{\bullet}} \,\,$$ si $$x = k2\pi$$ alors $$\cos(x) = 1$$ et $$\sin(x) = 0$$, et donc $$\sqrt{\cos(x)} + \sqrt{\sin(x)} = 1$$ ;
$$\,\, {\color{blue}{\bullet \, \bullet}} \,\,$$ si $$x = k2\pi + \dfrac{\pi}{2}$$ alors $$\cos(x) = 0$$ et $$\sin(x) = 1$$, et donc $$\sqrt{\cos(x)} + \sqrt{\sin(x)} = 1$$.
Finalement l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_8}$$ de l'équation $$E_8$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_8} : \left\lbrace x = k2\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

On a :
$$\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin(x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos(x) \right) = \sqrt{2} \left( \sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \sin(x) + \cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \cos(x) \right) = \sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right)$$
Donc, l'équation $$(E_9)$$ prend la forme suivante :
$$(E_9) \,\, : \,\, \sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) - \dfrac{\sin(2x)}{1+\sqrt{2}}= \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right)$$
Ce qui nous donne :
$$(E_9) \,\, : \,\, \left( \sqrt{2} - 1 \right) \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \dfrac{\sin(2x)}{1+\sqrt{2}}$$
En multipliant par $$1+\sqrt{2}$$ on obtient :
$$(E_9) \,\, : \,\, \left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( \sqrt{2} + 1 \right) \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \dfrac{\sin(2x)}{1+\sqrt{2}} \left( \sqrt{2} + 1 \right)$$
En simplifiant :
$$(E_9) \,\, : \,\, \left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( \sqrt{2} + 1 \right) \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \sin(2x)$$
Puis, en développant les deux premiers termes :
$$(E_9) \,\, : \,\, \left( \sqrt{2}^2 - 1^2 \right) \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \sin(2x)$$
Soit :
$$(E_9) \,\, : \,\, \left( 2 - 1 \right) \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \sin(2x)$$
Ainsi :
$$(E_9) \,\, : \,\, 1 \times \cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \sin(2x)$$
Or, pour tout $$X$$ réel, on a $$\sin(X) = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} - X\right)$$. Ce qui nous permet d'écrire :
$$(E_9) \,\, : \,\,\cos \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} - 2x \right)$$
Soit $$k \in \mathbb{Z}$$, on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} \dfrac{\pi}{4} - x & = & \dfrac{\pi}{2} - 2x + k2\pi \\ & & \\ \dfrac{\pi}{4} - x & = & -\left( \dfrac{\pi}{2} - 2x \right) + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x -x & = & \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ & & \\ - 2x - x & = & - \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\\ \end{array} \right.$$
D'où :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ & & \\ - 3x & = & - \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ & & \\ 3x & = & \dfrac{3\pi}{4} - k2\pi\\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{4} - k \dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.$$
Or, $$k \in \mathbb{Z}$$ donc $$-k \in \mathbb{Z}$$ également. Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ & & \\ x & = & \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.$$
Enfin, en remarquant qu'avec $$K \in \mathbb{Z}$$, lorsque $$k = 3K$$ alors $$K2\pi$$ est inclus dans $$K \dfrac{2\pi}{3}$$.
Finalement, l'ensemble des solutions $$\mathcal{S}_{E_9}$$ de l'équation $$E_9$$ est :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_9} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$