Exercice 1 - Premiers pas - Exercice 1

En appliquant la méthode décrite précédemment, on a :
$$\cos(x) + \sin(x) = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) = \dfrac{0}{\sqrt{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) = 0$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta=\dfrac{\pi}{4}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 0$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{2} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x - \dfrac{\pi}{4} & = & \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x - \dfrac{\pi}{4} & = & -\dfrac{\pi}{2} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{\pi}{4} -\dfrac{\pi}{2} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Positionnons cela sur un cercle trigonométrique en ayant en tête que $$-\dfrac{\pi}{4}$$ et $$\dfrac{7\pi}{4}$$ sont des angles associés.

On remarque alors que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$$
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_1}$$ des solutions de l'équation $$(E_1)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_1} : \left\lbrace x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite précédemment, avec $$\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{4}=2$$, on a :
$$\sqrt{3}\cos(x) - \sin(x) = -1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \dfrac{1}{2}\sin(x) = -\dfrac{1}{2}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & - \dfrac{1}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = - \dfrac{\pi}{6}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( x - \left(-\dfrac{\pi}{6} \right)\right) = -\dfrac{1}{2}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x + \dfrac{\pi}{6} & = & \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x + \dfrac{\pi}{6} & = & -\dfrac{2\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{2\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Il n'est pas possible de compacter cette écriture des solutions $$x$$ recherchées.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_2}$$ des solutions de l'équation $$(E_2)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_2} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite précédemment, avec $$\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$, on a :
$$\cos(3x) - \sin(3x) = \sqrt{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x) - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) = 1$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = -\dfrac{\pi}{4}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 3x - \left( -\dfrac{\pi}{4} \right) \right) = 1$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( 3x + \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos\left( 0\right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x + \dfrac{\pi}{4} & = & 0 + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x + \dfrac{\pi}{4} & = & -0 + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x & = & -\dfrac{\pi}{4} + 0 + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x & = & -\dfrac{\pi}{4} -0 + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & -\dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ & \text{ou} & \\ x & = & -\dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.$$
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_3}$$ des solutions de l'équation $$(E_3)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_3} : \left\lbrace x = -\dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{2\pi}{3} \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite précédemment, avec $$\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4}=2$$, on a :
$$\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{1}{2}\cos(2x) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) = \dfrac{1}{2}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{1}{2} \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \theta = \dfrac{\pi}{3}$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{1}{2}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x - \dfrac{\pi}{3} & = & \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 2x - \dfrac{\pi}{3} & = & -\dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 2x & = & \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x & = & \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 2x & = & 0+2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Soit, en divisant par $$2$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ & \text{ou} & \\ x & = & k\pi \\ \end{array} \right.$$
Il n'est pas possible de compacter cette écriture des solutions $$x$$ recherchées.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_4}$$ des solutions de l'équation $$(E_4)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_4} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = k\pi \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite précédemment, avec $$\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25}=5$$, on a :
$$4\cos(2x) + 3\sin(2x) = 2\pi \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{4}{5}\cos(2x) + \dfrac{3}{5}\sin(2x) = \dfrac{2\pi}{5}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{4}{5} > 0 \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{3}{2} > 0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \theta \in \left\rbrack \, 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \, \right\lbrack$$
Donc, on en déduit que :
$$\theta = \arccos \left( \dfrac{4}{5} \right) \,\,\,\,(\simeq 36,87°)$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 2x - \arccos \left( \dfrac{4}{5} \right) \right) = \dfrac{2\pi}{5}$$
Or :
$$\dfrac{2\pi}{5} > 1 \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \cos\left( 2x - \arccos \left( \dfrac{4}{5} \right) \right) > 1$$
Cette dernière inégalité est strictement impossible puisque le cosinus est borné entre $$-1$$ et $$1$$. L'équation $$(E_5)$$ n'as donc pas de solution sur $$\mathbb{R}$$.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_5}$$ des solutions de l'équation $$(E_5)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_5} : \left\lbrace \phi \right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite précédemment, avec $$\sqrt{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)^2 + \left(\sqrt{2-\sqrt{3}} \right)^2} = \sqrt{4}=2$$, on a :
$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cos(4x) + \sqrt{2-\sqrt{3}}\sin(4x) = 2 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\cos(4x) + \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\sin(4x) = \dfrac{2}{2}$$
Soit :
$$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\cos(4x) + \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\sin(4x) = 1$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}>0 \\ & & \\ \sin(\theta) & = & \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}>0 \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \theta \in \left\rbrack \, 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \, \right\lbrack$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \tan(\theta) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \tan(\theta) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}} \times \sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}} \times \sqrt{2-\sqrt{3}}}$$
On a alors :
$$\tan(\theta) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}^2}{\sqrt{(2+\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})}} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2 - \sqrt{3}^2} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{4 - 3} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$$
On écrit alors que :
$$\theta = \arctan \left( 2-\sqrt{3} \right) =\dfrac{\pi}{12} \, \text{rad} = 15°$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 4x - \dfrac{\pi}{12} \right) = 1$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( 4x - \dfrac{\pi}{12} \right) = \cos\left( 0 \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 4x - \dfrac{\pi}{12} & = & 0 + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 4x - \dfrac{\pi}{12} & = & -0 + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 4x & = & \dfrac{\pi}{12} + 0 + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 4x & = & \dfrac{\pi}{12} - 0 +2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{\pi}{48} + k\dfrac{2\pi}{4} \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{\pi}{48} + k\dfrac{2\pi}{4} \\ \end{array} \right.$$
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_6}$$ des solutions de l'équation $$(E_6)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_6} : \left\lbrace x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = \dfrac{\pi}{48} + k\dfrac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$

En appliquant la méthode décrite précédemment, avec $$\sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$, on a :
$$5\cos(3x) - 12\sin(3x) = -1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{5}{13}\cos(3x) - \dfrac{12}{13}\sin(3x) = -\dfrac{1}{13}$$
On recherche donc un nombre réel $$\theta$$ qui vérifient les deux conditions :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \cos(\theta) & = & \dfrac{5}{13} > 0 \\ & & \\ \sin(\theta) & = & -\dfrac{12}{13} < 0\\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \theta \in \left\rbrack \, - \dfrac{\pi}{2} \,;\, 0 \, \right\lbrack$$
Ainsi :
$$\theta = - \arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) \,\, \text{rad} \,\,\, (\simeq - 67,38°)$$
Ceci nous permet d'écrire que :
$$\cos\left( 3x - \left( - \arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) \right) \right) = -\dfrac{1}{13}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$\cos\left( 3x + \arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) \right) = \cos\left( \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) \right)$$
Ainsi, avec $$k \in \mathbb{Z}$$, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x + \arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) & = & \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x + \arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) & = & -\arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) + 2k\pi \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} 3x & = & -\arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) + \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) + 2k\pi \\ & \text{ou} & \\ 3x & = & -\arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) - \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) + 2k\pi \\ \end{array} \right.$$
Soit, en divisant par $$3$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} x & = & \dfrac{1}{3} \left(-\arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) + \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) \right) + k\dfrac{2\pi}{3} \\ & \text{ou} & \\ x & = & \dfrac{1}{3} \left(-\arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) - \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) \right) + k\dfrac{2\pi}{3} \\ \end{array} \right.$$
Il n'est pas possible de compacter cette écriture des solutions $$x$$ recherchées.
Finalement, l'ensemble $$\mathcal{S}_{E_7}$$ des solutions de l'équation $$(E_7)$$ sont :
$${\color{red}{\boxed{ \mathcal{S}_{E_7} : \left\lbrace x = \dfrac{1}{3} \left(-\arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) + \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) + 2k\pi\right) \hspace{0.5cm} \text{ou} \hspace{0.5cm} x = -\dfrac{1}{3} \left(\arccos \left(\dfrac{5}{13} \right) + \arccos\left( -\dfrac{1}{13} \right) - 2k\pi\right) \hspace{0.5cm} \text{avec :} \,\,\, k\in \mathbb{Z}\right\rbrace}}}$$