Vérification d'une égalité à l'aide de la dérivation $$\left(3\right)$$ - Exercice 1

Soit $$x \in \mathbb{R}$$.
L'application $$x \longmapsto \sqrt{1+x^2} - x$$ existe sur $$\mathbb{R}$$ et, sur ce même ensemble, y est dérivable.
La fonction $$\arctan$$ est définie et dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ainsi, par composition, la fonction $$x \longmapsto \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right)$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = \dfrac{1}{1 + \left( \sqrt{1+x^2} - x \right)^2} \times \left( \sqrt{1+x^2} - x \right)'$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = \dfrac{1}{1 + 1+x^2 - 2x\sqrt{1+x^2} + x^2} \times \left(\dfrac{(1+x^2)'}{2 \sqrt{1+x^2}} - 1 \right)$$
Soit :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = \dfrac{1}{2+2x^2 - 2x\sqrt{1+x^2}} \times \left(\dfrac{2x}{2 \sqrt{1+x^2}} - 1 \right)$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = \dfrac{1}{2\left(1+x^2 - x\sqrt{1+x^2} \right)} \times \left(\dfrac{x}{ \sqrt{1+x^2}} - \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{ \sqrt{1+x^2}} \right)$$
De même :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = \dfrac{1}{2\left(\left(\sqrt{1+x^2}\right)^2 - x\sqrt{1+x^2} \right)} \times \left(\dfrac{x-\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = -\dfrac{1}{2 \sqrt{1+x^2}\left(\sqrt{1+x^2} - x \right)} \times \dfrac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}}$$
En simplifiant par le terme non nul $$\sqrt{1+x^2}-x$$ on obtient :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = -\dfrac{1}{2 \sqrt{1+x^2}} \times \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
Finalement :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) \right)' = -\dfrac{1}{2} \times\dfrac{1}{1+x^2}$$
De fait, on en déduit immédiatement que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) = -\dfrac{1}{2} \arctan(x) + K \,\,\,\,\ (K \in \mathbb{R})$$
Posons $$x = 0 \in \mathbb{R}$$ , on a alors :
$$\arctan \left( \sqrt{1+0^2} - 0 \right) = -\dfrac{1}{2} \arctan(0) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \arctan \left( 1 \right) = -\dfrac{1}{2}\times 0 + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \arctan \left( 1 \right) = K$$
or, on a $$\arctan \left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$$. Donc $$K = \dfrac{\pi}{4}$$. Ceci implique que
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \arctan \left( \sqrt{1+x^2} - x \right) = -\dfrac{1}{2} \arctan(x) + \dfrac{\pi}{4}$$