Sujet $$2$$ - Exercice 1

On rappelle que pour les deux réels $$X$$ et $$Y$$ tels que $$XY \neq 1$$ :
$${\color{red}{ \arctan(X) + \arctan(Y) = \arctan\left( \dfrac{X + Y}{1 - XY} \right) + k \pi \,\,\,\, \mathrm{avec} \,\, k = \left\lbrace \begin{array}{rcl} 1 & \mathrm{si} & XY > 1 \,\, \mathrm{et} \,\, (X\,;\,Y) \in \big( \mathrm{R}^{+\star} \big)^2 \\ \\ 0 & \mathrm{si} & XY < 1 \\ \\ -1 & \mathrm{si} & XY > 1 \,\, \mathrm{et} \,\, (X\,;\,Y) \in \big( \mathrm{R}^{-\star} \big)^2 \end{array} \right.}}$$
Dans cet exercice on a :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right)$$
Avec $$0 < x < y$$. De fait on a $$\dfrac{x}{y} < 1$$ et $$\dfrac{y-x}{y+x} < 1$$. Ainsi leur produit satisfait à $$\left( \dfrac{x}{y} \right) \left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) < 1$$
De fait, on en déduit que :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y-x}{y+x} }{1 - \left( \dfrac{x}{y} \right) \left( \dfrac{y-x}{y+x} \right)} \right)$$
Soit :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ \dfrac{x(y+x) + y (y-x)}{y(y+x)} }{1 - \dfrac{x(y-x)}{y(y+x)} } \right)$$
Soit encore :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ \dfrac{x(y+x) + y (y-x)}{y(y+x)} }{\dfrac{{y(y+x)}}{y(y+x)} - \dfrac{x(y-x)}{y(y+x)} } \right)$$
D'où :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ \dfrac{x(y+x) + y (y-x)}{y(y+x)} }{\dfrac{{y(y+x) - x(y-x)}}{y(y+x)} } \right)$$
En simplifiant par le terme non nul $$y(y+x)$$ on obtient :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ x(y+x) + y (y-x)}{y(y+x) - x(y-x) } \right)$$
En développant :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ xy + x^2 + y^2 - xy}{y^2 + yx - xy + x^2 } \right)$$
En simplifiant :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ x^2 + y^2 }{y^2 + x^2 } \right)$$
De même :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( \dfrac{ x^2 + y^2 }{x^2 + y^2 } \right)$$
De fait :
$$\arctan\left( \dfrac{x}{y} \right) + \arctan\left( \dfrac{y-x}{y+x} \right) = \arctan\left( 1 \right)$$
Finalement, comme $$\arctan\left( 1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$$, on obtient : :

On a :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( 2 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) \right)$$
Soit :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) + \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) \right)$$
Comme $$\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25} < 1$$ on a alors :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5}}{1 - \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5}} \right) \right)$$
Ce qui nous donne :
Comme $$\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{25} < 1$$ on a alors :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{\dfrac{2}{5}}{1 - \dfrac{1}{25}} \right) \right)$$
Donc :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{\dfrac{2}{5}}{\dfrac{25}{25} - \dfrac{1}{25}} \right) \right)$$
D'où :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{\dfrac{10}{25}}{\dfrac{25-1}{25} } \right) \right)$$
Ceci nous donne donc :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{\dfrac{10}{25}}{\dfrac{24}{25} } \right) \right)$$
En simplifiant par $$25$$ on obtient :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{10}{24 } \right) \right)$$
Ainsi :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = 2 \left( \arctan\left( \dfrac{5}{12} \right) \right)$$
Ceci peut également s'écrire sous la forme d'une somme :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{5}{12} \right) + \arctan\left( \dfrac{5}{12} \right)$$
Comme $$\dfrac{5}{12} \times \dfrac{5}{12} = \dfrac{25}{144} < 1$$ ce qiu nous permet d'écrire que :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{5}{12} + \dfrac{5}{12}}{1 - \dfrac{5}{12} \times \dfrac{5}{12} } \right)$$
Donc :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{5+5}{12} }{1 - \dfrac{25}{144} } \right)$$
Soit :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{10}{12} }{\dfrac{144}{144} - \dfrac{25}{144} } \right)$$
Soit encore :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{5}{6} }{\dfrac{144-25}{144} } \right)$$
D'où :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{5}{6} }{\dfrac{119}{144} } \right)$$
Ce qui s'écrit aussi :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{5}{6} }{\dfrac{119}{6 \times 24} } \right)$$
En simplifiant :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{\dfrac{5}{1} }{\dfrac{119}{24} } \right)$$
Ce qui nous donne :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{5}{1} \times \dfrac{24}{119} \right)$$
Soit :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) = \arctan\left( \dfrac{5 \times 24}{1 \times 119} \right)$$
Finalement :

On a :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \arctan\left( \dfrac{120}{119} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right)$$
Cependant, lorsque $$X > 0$$ on a :
$$\arctan(X) + \arctan\left( \dfrac{1}{X} \right) = \dfrac{\pi}{2}$$
Avec $$X = \dfrac{120}{119} > 0$$ on obtient :
$$\arctan\left( \dfrac{120}{119} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{119}{120} \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\left( \dfrac{119}{120} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right)$$
Soit :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \left( \arctan\left( \dfrac{119}{120} \right) + \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) \right)$$
Soit encore :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \left( \arctan\left( \dfrac{238}{240} \right) + \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) \right)$$
De même :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \left( \arctan\left( \dfrac{239-1}{239+1} \right) + \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) \right)$$
Que nous allons écrire comme :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \left( \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) + \arctan\left( \dfrac{239-1}{239+1} \right) \right)$$
On reconnait, dans le terme entre parenthèses après \dfrac{\pi}{2}, la relation de la première question avec $$x=1$$ et $$y=239$$. A l'aide de la première question, en déduit donc que :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \left( \dfrac{\pi}{4} \right)$$
Soit encore :
$$4 \arctan\left( \dfrac{1}{5} \right) - \arctan\left( \dfrac{1}{239} \right) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4}$$
Mais :
$$\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = 2 \times \dfrac{\pi}{4} - 1 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} \times (2-1) = \dfrac{\pi}{4} \times (1) = \dfrac{\pi}{4} \times 1 = \dfrac{\pi}{4}$$
Finalement, on obtient :