Sujet $$1$$ - Exercice 1

On rappelle que pour les deux réels $$x$$ et $$y$$ tels que $$xy \neq 1$$ :
$${\color{red}{ \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left( \dfrac{x + y}{1 - xy} \right) + k \pi \,\,\,\, \mathrm{avec} \,\, k = \left\lbrace \begin{array}{rcl} 1 & \mathrm{si} & xy > 1 \,\, \mathrm{et} \,\, (x\,;\,y) \in \big( \mathrm{R}^{+\star} \big)^2 \\ \\ 0 & \mathrm{si} & xy < 1 \\ \\ -1 & \mathrm{si} & xy > 1 \,\, \mathrm{et} \,\, (x\,;\,y) \in \big( \mathrm{R}^{-\star} \big)^2 \end{array} \right.}}$$
Dans le cadre de cet exercice, on a en se souvenant que la fonction $$\arctan$$ est impaire sur $$\mathbb{R}$$ :
$$\arctan \left( 1+x \right) - \arctan \left( x \right) = \arctan \left( 1+x \right) + \arctan \left( -x \right)$$
On constate que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, -x \times (1+x) < 0$$
Ce qui implique que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, -x \times (1+x) < 1$$
Ceci implique que :
$$\arctan \left( 1+x \right) - \arctan \left( x \right) = \arctan \left( 1+x \right) + \arctan \left( -x \right) = \arctan \left( \dfrac{-x + 1 +x }{1 - (-x)(1+x)} \right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\arctan \left( 1+x \right) - \arctan \left( x \right) = \arctan \left( 1+x \right) + \arctan \left( -x \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{1 + x(1+x)} \right)$$
Ce qui nous permet d'obtenir :
$$\arctan \left( 1+x \right) - \arctan \left( x \right) = \arctan \left( 1+x \right) + \arctan \left( -x \right) = \arctan \left( \dfrac{1}{1 + x + x^2} \right)$$
On a donc bien démontré que :

On a :
$$S_n = \sum_{k=0}^n \arctan \left( \dfrac{1}{1+k+k^2} \right)$$
En faisant usage de la question précédente, on peut écrire que :
$$S_n = \sum_{k=0}^n \left( \arctan \left( 1 + k \right) - \arctan \left( k \right) \right)$$
En écrivant les termes de cette somme $$S_n$$ on obtient :
$$S_n = \arctan(1) - \arctan(0) + \arctan(2) - \arctan(1) + \cdots + \arctan(n) - \arctan(n-1) + \arctan(n+1) - \arctan(n)$$
Après avoir effectué toutes les simplifications il reste :
$$S_n = - \arctan(0) + \arctan(n+1)$$
Or, on sait que $$\arctan(0) = 0$$ d'où :
$$S_n = - 0 + \arctan(n+1)$$
Finalement :

On a :
$$\ell = \lim_{n \, \longrightarrow \, + \infty} S_n = \lim_{x \, \longrightarrow \, + \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}$$
Donc :