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Trigonométrie réciproque

Relations fondamentales (2)\left(2\right) - Exercice 1

40 min
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Question 1

Soit xx un réel.
Soit E1E_1 l'expression cos⁡(arctan⁡(x))\cos(\arctan(x)). Après avoir donné son domaine de validité, simplifier cette expression.

Correction
  • ∀x∈]−π2+kπ;π2+kπ[, k∈Z\forall x\in \left]-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right[,\ k\in \mathbb{Z} , on a : 1+tan2(x) =1cos2(x) 1+{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }=\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}
Les fonctions cosinus et arc tangente sont définies sur R\mathbb{R}. Par composition, l'expression E1E_1 existe sur R\mathbb{R}.
Soit xx un nombre réel. On a alors :
(cos⁡(arctan⁡(x)))2=11+(tan⁡(arctan⁡(x)))2\big(\cos(\arctan(x)) \big)^2 = \dfrac{1}{1 + \big(\tan(\arctan(x)) \big)^2}
Soit :
(cos⁡(arctan⁡(x)))2=11+(x)2\big(\cos(\arctan(x)) \big)^2 = \dfrac{1}{1 + \big(x \big)^2}
Soit encore :
(cos⁡(arctan⁡(x)))2=11+x2\big(\cos(\arctan(x)) \big)^2 = \dfrac{1}{1 + x^2}
Ce qui implique que :
cos⁡(arctan⁡(x))=±11+x2\cos(\arctan(x)) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
Or :
∀x∈R,  −π2<arctan⁡(x)<π2\forall x \in \mathbb{R}, \,\, - \dfrac{\pi}{2} < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2}
De plus, si −π2<X<π2- \dfrac{\pi}{2} < X < \dfrac{\pi}{2} alors 0<cos⁡(X)<10 < \cos(X) < 1. On en déduit immédiatement que :
cos⁡(arctan⁡(x))=11+x2\cos(\arctan(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
Question 2

Soit xx un réel.
Soit E2E_2 l'expression sin⁡(arctan⁡(x))\sin(\arctan(x)). Après avoir donné son domaine de validité, simplifier cette expression.

Correction
La fonction arctan⁡\arctan existe sur R\mathbb{R}. Donc
∀x∈R,  tan⁡(arctan⁡(x))=x\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \tan\big( \arctan(x) \big) = x
De fait :
∀x∈R,  sin⁡(arctan⁡(x))cos⁡(arctan⁡(x))=x\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\cos\big( \arctan(x) \big)} = x
D'après la question précédente, donc de l'expression E1E_1, on en déduit que :
∀x∈R,  sin⁡(arctan⁡(x))11+x2=x\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}} = x
Ainsi :
∀x∈R,  sin⁡(arctan⁡(x))=x×11+x2\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \sin\big( \arctan(x) \big) = x \times \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
Finalement :
∀x∈R,  sin⁡(arctan⁡(x))=x1+x2\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \sin\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}

Question 3

Soit xx un réel.
Soit E3E_3 l'expression arccos⁡(x)+arccos⁡(−x)\arccos(x) + \arccos(-x). Après avoir donné son domaine de validité, simplifier cette expression.

Correction
  • Soit uu une fonction dérivable sur R\mathbb{R} et à valeurs dans ]−1;1[\left]-1;1\right[ . Ainsi : (arccos(u) )′=−u′1−u2\left({\mathrm{arccos} \left(u\right)\ }\right)'=\frac{-u'}{\sqrt{1-u^2}}
La fonction arccos⁡\arccos existe sur l'intervalle [−1 ; 1]\left[ -1 \,;\, 1 \right]. Donc l'expression E3E_3 est définie sur cet intervalle [−1 ; 1]\left[ -1 \,;\, 1 \right].
On a alors :
∀x∈[−1 ; 1],  f(x)=arccos⁡(x)+arccos⁡(−x)\forall x \in \left[ -1 \,;\, 1 \right], \,\, f(x) = \arccos(x) + \arccos(-x)
En dérivant une seule fois par rapport à xx on obtient :
∀x∈]−1 ; 1[,  f′(x)=(arccos⁡(x)+arccos⁡(−x))′\forall x \in \left] -1 \,;\, 1 \right[, \,\, f'(x) = \big( \arccos(x) + \arccos(-x) \big)'
De fait :
∀x∈]−1 ; 1[,  f′(x)=(arccos⁡(x))′+(arccos⁡(−x))′\forall x \in \left] -1 \,;\, 1 \right[, \,\, f'(x) = \big( \arccos(x) \big)' + \big( \arccos(-x) \big)'
Soit :
∀x∈]−1 ; 1[,  f′(x)=−11−x2+(−x)′×(−11−(−x)2)\forall x \in \left] -1 \,;\, 1 \right[, \,\, f'(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + (-x)' \times \left( - \dfrac{1}{\sqrt{1 - (-x)^2}} \right)
Soit encore :
∀x∈]−1 ; 1[,  f′(x)=−11−x2+11−(−x)2\forall x \in \left] -1 \,;\, 1 \right[, \,\, f'(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1 - (-x)^2}}
Ce qui nous donne :
∀x∈]−1 ; 1[,  f′(x)=0\forall x \in \left] -1 \,;\, 1 \right[, \,\, f'(x) = 0
Ce qui implique que :
∀x∈[−1 ; 1],  f(x)=K   (K∈R)\forall x \in \left[ -1 \,;\, 1 \right], \,\, f(x) = K \,\,\, (K \in \mathbb{R})
En posant x=0∈]−1 ; 1[x = 0 \in \left] -1 \,;\, 1 \right[, on obtient :
K=f(0)=arccos⁡(0)+arccos⁡(−0)=arccos⁡(0)+arccos⁡(0)=2arccos⁡(0)=2×π2=πK = f(0) = \arccos(0) + \arccos(-0) = \arccos(0) + \arccos(0) = 2\arccos(0) = 2 \times \dfrac{\pi}{2} = \pi
Finalement :
∀x∈[−1 ; 1],  arccos⁡(x)+arccos⁡(−x)=π\forall x \in \left[ -1 \,;\, 1 \right], \,\, \arccos(x) + \arccos(-x) = \pi