Relations fondamentales $\left(1\right)$ - Exercice 5

20 min

Question 1

Soit $x$ un nombre réel.
Pour $x \in \mathbb{R}$ , déterminer une expression simplifiée de $\cos\big( \arctan(x) \big)$ .

Correction

$\forall x\in \left]-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right[,\ k\in \mathbb{Z}$ , on a : $1+{\mathrm{tan}^2 \left(x\right)\ }=\frac{1}{{\mathrm{cos}^2 \left(x\right)\ }}$

x \in \mathbb{R}

alors

-\dfrac{\pi}{2} < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2}

. Ceci implique que

\cos\big( \arctan(x) \big) > 0

. Dans ce cas, on peut écrire que :

\cos\big( \arctan(x) \big) = \sqrt{\left( \cos\big( \arctan(x) \big) \right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{\left( \cos\big( \arctan(x) \big) \right)^2}}}

Ce qui nous donne :

\cos\big( \arctan(x) \big) = \sqrt{\dfrac{1}{1 + \left( \tan\big( \arctan(x) \big) \right)^2}}

Comme

x \in \mathbb{R}

cela implique que

\tan\big( \arctan(x) \big) = x

. On obtient :

\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \cos\big( \arctan(x) \big) = \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \cos\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}

Question 2

Correction

x \in \mathbb{R}

alors

-\dfrac{\pi}{2} < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2}

. Ceci implique que

\cos\big( \arctan(x) \big) > 0

. Dans ce cas, on peut écrire que :

\tan\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\cos\big( \arctan(x) \big)}

Comme

x \in \mathbb{R}

cela implique que

\tan\big( \arctan(x) \big) = x

. On obtient :

x = \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\cos\big( \arctan(x) \big)}

Comme

x \in \mathbb{R}

cela implique, d'après la question précédente, que

\cos\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}

. On obtient maintenant :

x = \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \sin\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}

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