Relations fondamentales $$\left(1\right)$$ - Exercice 5

Si $$x \in \mathbb{R}$$ alors $$-\dfrac{\pi}{2} < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2}$$. Ceci implique que $$\cos\big( \arctan(x) \big) > 0$$. Dans ce cas, on peut écrire que :
$$\cos\big( \arctan(x) \big) = \sqrt{\left( \cos\big( \arctan(x) \big) \right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{\left( \cos\big( \arctan(x) \big) \right)^2}}}$$
Ce qui nous donne :
$$\cos\big( \arctan(x) \big) = \sqrt{\dfrac{1}{1 + \left( \tan\big( \arctan(x) \big) \right)^2}}$$
Comme $$x \in \mathbb{R}$$ cela implique que $$\tan\big( \arctan(x) \big) = x$$. On obtient :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \cos\big( \arctan(x) \big) = \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2}}$$
Finalement :

Si $$x \in \mathbb{R}$$ alors $$-\dfrac{\pi}{2} < \arctan(x) < \dfrac{\pi}{2}$$. Ceci implique que $$\cos\big( \arctan(x) \big) > 0$$. Dans ce cas, on peut écrire que :
$$\tan\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\cos\big( \arctan(x) \big)}$$
Comme $$x \in \mathbb{R}$$ cela implique que $$\tan\big( \arctan(x) \big) = x$$. On obtient :
$$x = \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\cos\big( \arctan(x) \big)}$$
Comme $$x \in \mathbb{R}$$ cela implique, d'après la question précédente, que $$\cos\big( \arctan(x) \big) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$. On obtient maintenant :
$$x = \dfrac{\sin\big( \arctan(x) \big)}{\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$$
Finalement :