Relations fondamentales (1)\left(1\right) - Exercice 4

20 min
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Question 1

Soit xx un nombre réel. Pour −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1, déterminer une expression simplifiée de sin⁡(arccos⁡(x))\sin\big( \arccos(x) \big).

Correction
Si −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 alors 0⩽arccos⁡(x)⩽π0 \leqslant \arccos(x) \leqslant \pi. Ceci implique que sin⁡(arccos⁡(x))⩾0\sin\big( \arccos(x) \big) \geqslant 0. Dans ce cas, on peut écrire que :
sin⁡(arccos⁡(x))=(sin⁡(arccos⁡(x)))2\sin\big( \arccos(x) \big) = \sqrt{\left( \sin\big( \arccos(x) \big) \right)^2}
Ce qui nous donne :
sin⁡(arccos⁡(x))=1−(cos⁡(arccos⁡(x)))2\sin\big( \arccos(x) \big) = \sqrt{1 - \left( \cos\big( \arccos(x) \big) \right)^2}
Comme −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 on a donc cos⁡(arccos⁡(x))=x\cos\big( \arccos(x) \big) = x. Finalement, on obtient :
∀x∈[−1 ; 1],  sin⁡(arccos⁡(x))=1−x2\forall x \in [-1 \,;\ 1], \,\,\sin\big( \arccos(x) \big) = \sqrt{1-x^2}

Question 2

∀x∈[−1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1]\forall x \in [-1\,;\,0[ \, \cup \, ]0\,;\,1], déterminer une expression simplifiée de tan⁡(arccos⁡(x))\tan\big( \arccos(x) \big).

Correction
Si x∈[−1 ; 0[  ∪  ]0 ; 1]x \in [-1\,;\,0[ \,\, \cup \,\, ]0\,;\,1] alors arccos⁡(x)∈[0 ; π2[∪]π2 ; π]\arccos(x) \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{2} \,;\, \pi \right] . Ceci implique que tan⁡(arccos⁡(x))∈R\tan\big( \arccos(x) \big) \in \mathbb{R}. Dans ce cas, on peut écrire que :
tan⁡(arccos⁡(x))=sin⁡(arccos⁡(x))cos⁡(arccos⁡(x))=(cos⁡(arccos⁡(x)))2cos⁡(arccos⁡(x))=1−(sin⁡(arccos⁡(x)))2cos⁡(arccos⁡(x))\tan\big( \arccos(x) \big) = \dfrac{\sin\big( \arccos(x) \big)}{\cos\big( \arccos(x) \big)} = \dfrac{\sqrt{\left( \cos\big( \arccos(x) \big) \right)^2}}{\cos\big( \arccos(x) \big)} = \dfrac{\sqrt{1 - \left( \sin\big( \arccos(x) \big) \right)^2}}{\cos\big( \arccos(x) \big)}
Comme x∈[−1 ; 0[  ∪  ]0 ; 1]⊂[−1 ; 1]x \in [-1\,;\,0[ \,\, \cup \,\, ]0\,;\,1] \subset [-1 \,;\ 1] on a donc cos⁡(arccos⁡(x))=x\cos\big( \arccos(x) \big) = x. Finalement, on obtient :
∀x∈]−1 ; 1[,  tan⁡(arcsin⁡(x))=1−x2x\forall x \in ]-1 \,;\ 1[, \,\, \tan\big( \arcsin(x) \big) = \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}

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