Relations fondamentales $$\left(1\right)$$ - Exercice 4

Si $$-1 \leqslant x \leqslant 1$$ alors $$0 \leqslant \arccos(x) \leqslant \pi$$. Ceci implique que $$\sin\big( \arccos(x) \big) \geqslant 0$$. Dans ce cas, on peut écrire que :
$$\sin\big( \arccos(x) \big) = \sqrt{\left( \sin\big( \arccos(x) \big) \right)^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\sin\big( \arccos(x) \big) = \sqrt{1 - \left( \cos\big( \arccos(x) \big) \right)^2}$$
Comme $$-1 \leqslant x \leqslant 1$$ on a donc $$\cos\big( \arccos(x) \big) = x$$. Finalement, on obtient :

Si $$x \in [-1\,;\,0[ \,\, \cup \,\, ]0\,;\,1]$$ alors $$\arccos(x) \in \left[ 0 \,;\, \dfrac{\pi}{2} \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{2} \,;\, \pi \right]$$. Ceci implique que $$\tan\big( \arccos(x) \big) \in \mathbb{R}$$. Dans ce cas, on peut écrire que :
$$\tan\big( \arccos(x) \big) = \dfrac{\sin\big( \arccos(x) \big)}{\cos\big( \arccos(x) \big)} = \dfrac{\sqrt{\left( \cos\big( \arccos(x) \big) \right)^2}}{\cos\big( \arccos(x) \big)} = \dfrac{\sqrt{1 - \left( \sin\big( \arccos(x) \big) \right)^2}}{\cos\big( \arccos(x) \big)}$$
Comme $$x \in [-1\,;\,0[ \,\, \cup \,\, ]0\,;\,1] \subset [-1 \,;\ 1]$$ on a donc $$\cos\big( \arccos(x) \big) = x$$. Finalement, on obtient :