Relations fondamentales $$\left(1\right)$$ - Exercice 3

Si $$-1 \leqslant x \leqslant 1$$ alors $$-\dfrac{\pi}{2} \leqslant \arcsin(x) \leqslant \dfrac{\pi}{2}$$. Ceci implique que $$\cos\big( \arcsin(x) \big) \geqslant 0$$. Dans ce cas, on peut écrire que :
$$\cos\big( \arcsin(x) \big) = \sqrt{\left( \cos\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}$$
Ce qui nous donne :
$$\cos\big( \arcsin(x) \big) = \sqrt{1 - \left( \sin\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}$$
Comme $$-1 \leqslant x \leqslant 1$$ on a donc $$\sin\big( \arcsin(x) \big) = x$$. Finalement, on obtient :

Si $$-1 < x < 1$$ alors $$-\dfrac{\pi}{2} < \arcsin(x) < \dfrac{\pi}{2}$$. Ceci implique que $$\tan\big( \arcsin(x) \big) \in \mathbb{R}$$. Dans ce cas, on peut écrire que :
$$\tan\big( \arcsin(x) \big) = \dfrac{\sin\big( \arcsin(x) \big)}{\cos\big( \arcsin(x) \big)} = \dfrac{\sin\big( \arcsin(x) \big)}{\sqrt{\left( \cos\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}} = \dfrac{\sin\big( \arcsin(x) \big)}{\sqrt{1 - \left( \sin\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}}$$
Comme $$-1 < x < 1$$ on a donc $$\sin\big( \arcsin(x) \big) = x$$. Finalement, on obtient :