Relations fondamentales (1)\left(1\right) - Exercice 3

20 min
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Question 1

Soit xx un nombre réel.
Pour −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1, déterminer une expression simplifiée de cos⁡(arcsin⁡(x))\cos\big( \arcsin(x) \big).

Correction
Si −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 alors −π2⩽arcsin⁡(x)⩽π2-\dfrac{\pi}{2} \leqslant \arcsin(x) \leqslant \dfrac{\pi}{2}. Ceci implique que cos⁡(arcsin⁡(x))⩾0\cos\big( \arcsin(x) \big) \geqslant 0. Dans ce cas, on peut écrire que :
cos⁡(arcsin⁡(x))=(cos⁡(arcsin⁡(x)))2\cos\big( \arcsin(x) \big) = \sqrt{\left( \cos\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}
Ce qui nous donne :
cos⁡(arcsin⁡(x))=1−(sin⁡(arcsin⁡(x)))2\cos\big( \arcsin(x) \big) = \sqrt{1 - \left( \sin\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}
Comme −1⩽x⩽1-1 \leqslant x \leqslant 1 on a donc sin⁡(arcsin⁡(x))=x\sin\big( \arcsin(x) \big) = x. Finalement, on obtient :
∀x∈[−1 ; 1],  cos⁡(arcsin⁡(x))=1−x2\forall x \in [-1 \,;\ 1], \,\, \cos\big( \arcsin(x) \big) = \sqrt{1-x^2}

Question 2

Pour −1<x<1-1 < x < 1, déterminer une expression simplifiée de tan⁡(arcsin⁡(x))\tan\big( \arcsin(x) \big).

Correction
Si −1<x<1-1 < x < 1 alors −π2<arcsin⁡(x)<π2-\dfrac{\pi}{2} < \arcsin(x) < \dfrac{\pi}{2}. Ceci implique que tan⁡(arcsin⁡(x))∈R\tan\big( \arcsin(x) \big) \in \mathbb{R}. Dans ce cas, on peut écrire que :
tan⁡(arcsin⁡(x))=sin⁡(arcsin⁡(x))cos⁡(arcsin⁡(x))=sin⁡(arcsin⁡(x))(cos⁡(arcsin⁡(x)))2=sin⁡(arcsin⁡(x))1−(sin⁡(arcsin⁡(x)))2\tan\big( \arcsin(x) \big) = \dfrac{\sin\big( \arcsin(x) \big)}{\cos\big( \arcsin(x) \big)} = \dfrac{\sin\big( \arcsin(x) \big)}{\sqrt{\left( \cos\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}} = \dfrac{\sin\big( \arcsin(x) \big)}{\sqrt{1 - \left( \sin\big( \arcsin(x) \big) \right)^2}}
Comme −1<x<1-1 < x < 1 on a donc sin⁡(arcsin⁡(x))=x\sin\big( \arcsin(x) \big) = x. Finalement, on obtient :
∀x∈]−1 ; 1[,  tan⁡(arcsin⁡(x))=x1−x2\forall x \in ]-1 \,;\ 1[, \,\, \tan\big( \arcsin(x) \big) = \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}

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