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Trigonométrie réciproque

Relations fondamentales (1)\left(1\right) - Exercice 2

12 min
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Question 1

Démontrer que : ∀x∈[ −1 ; 1 ],  arccos⁡(x)+arcsin⁡(x)=π2\forall x \in \left[\, -1 \,;\, 1 \,\right], \,\, \arccos(x) + \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}.

Correction
Soit xx un nombre réel tel que x∈[ −1 ; 1 ]x \in \left[\, -1 \,;\, 1 \,\right].
Les deux fonctions arccos⁡\arccos et arcsin⁡\arcsin sont définies et continues sur l'intervalle [ −1 ; 1 ]\left[\, -1 \,;\, 1 \,\right]. Mais ces deux mêmes fonctions sont dérivables sur ] −1 ; 1 [\left]\, -1 \,;\, 1 \,\right[.
On a a alors :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arccos⁡(x)+arcsin⁡(x))′=(arccos⁡(x))′+(arcsin⁡(x))′\forall x \in \left]\, -1 \,;\, 1 \,\right[, \,\, \left( \arccos(x) + \arcsin(x) \right)' = \left( \arccos(x) \right)' + \left( \arcsin(x) \right)'
Donc :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arccos⁡(x)+arcsin⁡(x))′=−11−x2+11−x2\forall x \in \left]\, -1 \,;\, 1 \,\right[, \,\, \left( \arccos(x) + \arcsin(x) \right)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Ce qui nous donne :
∀x∈] −1 ; 1 [,  (arccos⁡(x)+arcsin⁡(x))′=0\forall x \in \left]\, -1 \,;\, 1 \,\right[, \,\, \left( \arccos(x) + \arcsin(x) \right)' = 0
On en déduit immédiatement que :
∀x∈[ −1 ; 1 ],  arccos⁡(x)+arcsin⁡(x)=K     (K∈R)\forall x \in \left[\, -1 \,;\, 1 \,\right], \,\, \arccos(x) + \arcsin(x) = K \,\,\,\,\, (K \in \mathbb{R})
Posons x=0∈[ −1 ; 1 ]x = 0 \in \left[\, -1 \,;\, 1 \,\right]. On a alors :
arccos⁡(0)+arcsin⁡(0)=K   ⟺   π2+0=K   ⟺   π2=K\arccos(0) + \arcsin(0) = K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\pi}{2} + 0 = K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\pi}{2} = K
Finalement, nous pouvons donc écrire que :
∀x∈[ −1 ; 1 ],  arccos⁡(x)+arcsin⁡(x)=π2\forall x \in \left[\, -1 \,;\, 1 \,\right], \,\, \arccos(x) + \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}