Premier problème classique avant le devoir sur table - Exercice 1

La fonction $$f : x \longmapsto f(x) = \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$$ existe si :
$$-1 \leqslant \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leqslant 1$$
Soit :
$$-\sqrt{1+x^2} \leqslant x \leqslant \sqrt{1+x^2}$$
Cette double inégalité est vérifiée pour tout les nombres réels $$x$$. Donc, on en déduit que la fonction $$f$$ existe sur $$\mathbb{R}$$ tout entier. Donc :
$$D_f = \mathbb{R}$$

La fonction $$\arcsin$$ n'est pas dérivable en $$\pm 1$$.
Mais le terme $$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$ est toujours différents de $$\pm 1$$.
Donc la fonction $$f$$ est dérivable sur l'intervalle $$\mathbb{R}$$.
On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \left( \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \right)'$$
Soit :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)' \times \dfrac{1}{\sqrt{1-\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2}}$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{x'\sqrt{1+x^2} - x \left( \sqrt{1+x^2} \right)'}{\left( \sqrt{1+x^2} \right)^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{x^2}{1+x^2} }}$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{1\sqrt{1+x^2} - x \dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}} }{1+x^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1+x^2}{1+x^2} - \dfrac{x^2}{1+x^2} }}$$
On obtient donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{\sqrt{1+x^2} - x \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} }{1+x^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1+x^2-x^2}{1+x^2} }}$$
D'où :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{\sqrt{1+x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} }{1+x^2} \times \dfrac{1}{\sqrt{ \dfrac{1}{1+x^2} }}$$
Ceci prend également la forme suivante :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{ \dfrac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} - \dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} }{\left(\sqrt{1+x^2} \right)^2} \times \sqrt{1+x^2}$$
En regroupant les termes :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{ \dfrac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}} }{\left(\sqrt{1+x^2} \right)^2} \times \sqrt{1+x^2}$$
Puis en simplifiant :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} }{\sqrt{1+x^2} }$$
D'où
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+x^2}}$$
Finalement, on trouve que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$$
Nous allons donc pouvoir écrire que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f'(x) = \left( \arctan(x) \right)'$$
Ainsi, avec $$K \in \mathbb{R}$$, on en déduit immédiatement que :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f(x) = \arctan(x) + K$$
Qui s'écrit aussi sous la forme :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \arctan(x) + K$$
Posons maintenant $$x = 0 \in \mathbb{R}$$. On a alors :
$$\arcsin\left( \dfrac{0}{\sqrt{1+0^2}} \right) = \arctan(0) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \arcsin(0) = \arctan(0) + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = 0 + K \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 = K$$
Ce qui nous donne le résultat final suivant :

On pose $$S = \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$$ avec $$x \in \mathbb{R}$$.
Comme on a toujours $$-1 < \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} < 1$$ cela implique que : $$-\dfrac{\pi}{2} < S = \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) < \dfrac{\pi}{2}$$.
De plus, on a :
$$\sin(S) = \sin \left( \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \right)$$
Et d'après ce qui précède on peut donc écrire que :
$$\sin(S) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( \sin(S) \right)^2 = \left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2$$
Donc :
$$\sin^2(S) = \dfrac{x^2}{1+x^2} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, (1+x^2)\sin^2(S) = x^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sin^2(S) + x^2\sin^2(S) = x^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sin^2(S) = x^2 - x^2\sin^2(S)$$
De fait :
$$\sin^2(S) = x^2 \left( 1-\sin^2(S) \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \sin^2(S) = x^2 \cos^2(S) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{\sin^2(S)}{\cos^2(S)} = x^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \tan^2(S) = x^2$$
Ceci nous donne donc :
$$\tan(S) = \pm x$$
De plus $$x$$ et $$S = \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)$$ sont de même signe puisque $$\arcsin$$ est impair et que $$\sqrt{1+x^2} > 0$$.
Puis, comme $$-\dfrac{\pi}{2} < S = \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) < \dfrac{\pi}{2}$$ on en déduit que $$S$$ et $$\tan(S)$$ sont de même signe.
On en déduit alors que $$x$$ et $$\tan(S)$$ sont de même signe. De fait on va pouvoir écrire que :
$$\tan(S) = x$$
On a donc :
$$\arctan \left( \tan(S) \right) = \arctan(x)$$
Comme $$-\dfrac{\pi}{2} < S = \arcsin\left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) < \dfrac{\pi}{2}$$ on en déduit immédiatement que :
$$S = \arctan(x)$$
Finalement :