Différentes équations - Exercice 2

L'équation $$E$$, d'inconnue $$x$$, est définie sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 1]$$.
Comme $$\left\lbrace \begin{array}{ccccc} 0 & \leqslant & \dfrac{1}{4} & \leqslant & 1 \\ \\ 0 & \leqslant & \dfrac{1}{3} & \leqslant & 1 \end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{ccccc} 0 & \leqslant & \arccos\left(\dfrac{1}{4}\right) & \leqslant & \dfrac{\pi}{2} \\ \\ 0 & \leqslant & \arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right) & \leqslant & \dfrac{\pi}{2} \end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, 0 \leqslant \arccos\left(\dfrac{1}{4}\right) + \arcsin\left(\dfrac{1}{3}\right) \leqslant \pi$$
De plus $$0 \leqslant \arccos\left(x\right) \leqslant \pi$$ ce qui nous autorise à prendre le cosinus de chacun des termes de l'équation $$E$$. On a donc :
$$\cos\left(\arccos(x)\right) = \cos\left(\arccos\left( \dfrac{1}{4} \right) + \arcsin\left( \dfrac{1}{3} \right) \right)$$
Tout ce qui précèdent nous permet d'écrire que :
$$x = \cos\left(\arccos\left( \dfrac{1}{4} \right)\right) \cos\left(\arcsin\left( \dfrac{1}{3} \right) \right) - \sin\left(\arccos\left( \dfrac{1}{4} \right)\right) \sin\left(\arcsin\left( \dfrac{1}{3} \right) \right)$$
Donc :
$$x = \dfrac{1}{4} \cos\left(\arcsin\left( \dfrac{1}{3} \right) \right) - \sin\left(\arccos\left( \dfrac{1}{4} \right)\right) \dfrac{1}{3}$$
Puis, on a aussi :
$$x = \dfrac{1}{4} \cos\left(\arcsin\left( \dfrac{1}{3} \right) \right) - \sin\left(\arccos\left( \dfrac{1}{4} \right)\right) \dfrac{1}{3}$$
Mais $$\forall X \in [-1 \,;\, 1], \,\, \cos\left(\arcsin\left( X \right) \right) = \sin\left(\arccos\left( X \right)\right) = \sqrt{1-X^2}$$. On a alors :
$$x = \dfrac{1}{4} \sqrt{1-\left( \dfrac{1}{3} \right)^2} - \sqrt{1-\left( \dfrac{1}{4} \right)^2} \dfrac{1}{3}$$
Ce qui nous donne :
$$x = \dfrac{1}{4} \sqrt{1- \dfrac{1}{9}} - \sqrt{1- \dfrac{1}{16} } \dfrac{1}{3}$$
Soit :
$$x = \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{9}{9} - \dfrac{1}{9}} - \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{16}{16} - \dfrac{1}{16} }$$
Soit encore :
$$x = \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{9-1}{9}} - \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{16-1}{16} }$$
D'où :
$$x = \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{8}{9}} - \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{15}{16} }$$
De même :
$$x = \dfrac{1}{4} \sqrt{\dfrac{8}{3^2}} - \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{15}{4^2} }$$
On obtient alors :
$$x = \dfrac{1}{4\times 3} \sqrt{8} - \dfrac{1}{3\times 4} \sqrt{15}$$
Ce qui nous donne :
$$x = \dfrac{1}{12} \left( \sqrt{8} - \sqrt{15} \right)$$
Ce qui s'écrit aussi comme :
$$x = \dfrac{1}{12} \left( \sqrt{2^2\times 2} - \sqrt{15} \right)$$
Finalement :
$$x = \dfrac{1}{12} \left( 2\sqrt{2} - \sqrt{15} \right)$$
On peut donc conclure que l'équation $$E$$ admet un unique solution, à savoir :
$$\mathscr{S}_E = \left\lbrace \, \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{15}}{12} \, \right\rbrace$$