Différentes équations - Exercice 1

On a :
$$E : \arccos(x) = 2 \arccos\left( \dfrac{3}{4} \right)$$
Cette équation $$E$$, d'inconnue $$x$$, est définie sur l'intervalle $$[-1 \,;\, 1]$$.
On a :
$$0 \leqslant \dfrac{3}{4} \leqslant 1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, 0 \leqslant \arccos\left( \dfrac{3}{4} \right) \leqslant \dfrac{\pi}{2} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, 0 \leqslant 2\arccos\left( \dfrac{3}{4} \right) \leqslant \pi$$.
Comme $$0 \leqslant \arccos\left( x \right) \leqslant \pi$$ également, nous pouvons prendre le cosinus des deux membres qui composent l'équation $$E$$. On a alors :
$$\cos \left( \arccos(x) \right) = \cos \left( 2 \arccos\left( \dfrac{3}{4} \right) \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = \cos \left( 2 \left[ \arccos\left( \dfrac{3}{4} \right) \right] \right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = 2\cos^2 \left( \arccos\left( \dfrac{3}{4} \right) \right) - 1$$
Ceci nous donne :
$$x = 2 \left( \cos \left( \arccos\left( \dfrac{3}{4} \right) \right) \right)^2 - 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = 2\left( \dfrac{3}{4} \right)^2- 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = 2\left( \dfrac{9}{16} \right)- 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = \dfrac{18}{16} - 1$$
Donc :
$$x = \dfrac{18}{16} - \dfrac{16}{16} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = \dfrac{18-16}{16} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = \dfrac{2}{16} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, x = \dfrac{1}{8}$$
Donc, on peut conclure que l'équation $$E$$ admet une unique solution, à savoir :