Des équations à savoir faire pour le jour $$J$$ - Exercice 2

La fonction $$x \longmapsto \arcsin(x)$$ est définie et continue sur $$[-1 \,;\, 1]$$.
La fonction $$x \longmapsto \arctan(x)$$ est définie et continue sur $$\mathbb{R}$$.
La fonction $$x \longmapsto \dfrac{2x}{1-x^2}$$ est définie et continue sur $$\mathbb{R}-\{-1 \,;\, 1\}$$.
Ceci signifie que l'équation $$E$$ proposée, à savoir $$\arcsin(x) = \arctan\left( \dfrac{2x}{1-x^2} \right)$$, à un sens sur l'intervalle $$]-1 \,;\, 1[$$.
Donc, on a alors :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, \arcsin(x) = \arctan\left( \dfrac{2x}{1-x^2} \right)$$
Soit, puisque $$-\dfrac{\pi}{2} < \arcsin(x) < \dfrac{\pi}{2}$$, on peut écrire que :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, \tan\left(\arcsin(x)\right) = \tan\left(\arctan\left( \dfrac{2x}{1-x^2} \right)\right)$$
Soit encore :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{2x}{1-x^2}$$
Donc :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, \left( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)^2 = \left( \dfrac{2x}{1-x^2} \right)^2$$
D'où :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, \dfrac{x^2}{1-x^2} = \dfrac{4x^2}{(1-x^2)^2}$$
Ecrivons ceci comme :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, x^2(1-x^2)^2 - 4x^2(1-x^2) = 0$$
En factorisant :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, x^2(1-x^2)\left( 1-x - 4 \right) = 0$$
Ainsi :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, x^2(1-x^2)\left( -x - 3 \right) = 0$$
Soit encore :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, -x^2(1-x^2)(x + 3) = 0$$
D'où :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, x^2(x^2-1)(x + 3) = 0$$
De fait :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, x^2(x^2-1^2)(x + 3) = 0$$
On obtient alors :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, x^2(x-1)(x+1)(x + 3) = 0$$
Nous allons donc écrire :
$$\forall x \in ]-1 \,;\, 1[, \,\, (x-0)^2(x-1)(x-(-1))(x - (-3)) = 0$$
On constate alors que parmi les valeurs $$-3$$, $$-1$$, $$0$$ et $$1$$, il n'y a que la valeur $$0$$ qui appartient à l'intervalle $$]-1 \,;\, 1[$$.
Finalement, on en déduit donc que l'équation $$E$$ proposée admet une unique solution, à savoir :
$$\mathscr{S}_E = \{ 0 \}$$.
Cela se vérifie graphiquement :