Des équations à savoir faire pour le jour J - Exercice 2
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Question 1
Soit x un nombre réel. On désigne par E l'équation suivante : E:arcsin(x)=arctan(1−x22x)
Correction
La fonction x⟼arcsin(x) est définie et continue sur [−1;1]. La fonction x⟼arctan(x) est définie et continue sur R. La fonction x⟼1−x22x est définie et continue sur R−{−1;1}. Ceci signifie que l'équation E proposée, à savoir arcsin(x)=arctan(1−x22x), à un sens sur l'intervalle ]−1;1[. Donc, on a alors : ∀x∈]−1;1[,arcsin(x)=arctan(1−x22x) Soit, puisque −2π<arcsin(x)<2π, on peut écrire que : ∀x∈]−1;1[,tan(arcsin(x))=tan(arctan(1−x22x)) Soit encore : ∀x∈]−1;1[,1−x2x=1−x22x Donc : ∀x∈]−1;1[,(1−x2x)2=(1−x22x)2 D'où : ∀x∈]−1;1[,1−x2x2=(1−x2)24x2 Ecrivons ceci comme : ∀x∈]−1;1[,x2(1−x2)2−4x2(1−x2)=0 En factorisant : ∀x∈]−1;1[,x2(1−x2)(1−x−4)=0 Ainsi : ∀x∈]−1;1[,x2(1−x2)(−x−3)=0 Soit encore : ∀x∈]−1;1[,−x2(1−x2)(x+3)=0 D'où : ∀x∈]−1;1[,x2(x2−1)(x+3)=0 De fait : ∀x∈]−1;1[,x2(x2−12)(x+3)=0 On obtient alors : ∀x∈]−1;1[,x2(x−1)(x+1)(x+3)=0 Nous allons donc écrire : ∀x∈]−1;1[,(x−0)2(x−1)(x−(−1))(x−(−3))=0 On constate alors que parmi les valeurs −3, −1, 0 et 1, il n'y a que la valeur 0 qui appartient à l'intervalle ]−1;1[. Finalement, on en déduit donc que l'équation E proposée admet une unique solution, à savoir : SE={0}. Cela se vérifie graphiquement :