Des équations à savoir faire pour le jour $$J$$ - Exercice 1

La fonction $$\arctan$$ est définie, continue et dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
La fonction $$x \longmapsto \dfrac{2x}{1+x^2}$$ est définie, continue et dérivable sur $$\mathbb{R}$$ également. En outre, cette fonction est bornée par $$1$$ et $$-1$$. En effet, on a :
$$\left\vert \dfrac{2x}{1+x^2} \right\vert \leqslant 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\vert 2x \right\vert \leqslant \left\vert 1+x^2 \right\vert \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 2\left\vert x \right\vert \leqslant 1+x^2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 0 \leqslant x^2 - 2|x| + 1$$
Ceci s'écrit donc :
$$(1-|x|)^2 \geqslant 0$$
Cette dernière inégalité est toujours vérifiée, quelque soit la valeur du nombre réel $$x$$. Ceci se vérifie graphiquement :

Ainsi $$x \longmapsto \dfrac{2x}{1+x^2}$$ est bornée par $$1$$ et $$-1$$. Cela implique que le terme $$\arcsin \left( \dfrac{2x}{1+x^2} \right)$$ existe aussi pour toutes les valeurs réelles de $$x$$. Donc l'égualité $$E$$ proposée à un sens sur $$\mathbb{R}$$.
On a alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \arctan(x) = \arcsin \left( \dfrac{2x}{1+x^2} \right)$$
Soit :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \sin\left(\arctan(x)\right) = \sin\left(\arcsin \left( \dfrac{2x}{1+x^2} \right)\right)$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2x}{1+x^2}$$
Donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \left( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2 = \left( \dfrac{2x}{1+x^2} \right)^2$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, \dfrac{x^2}{1+x^2} = \dfrac{4x^2}{(1+x^2)^2}$$
Ainsi :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2(1+x^2)^2 = 4x^2(1+x^2)$$
De même :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2(1+x^2)^2 - 4x^2(1+x^2) = 0$$
Soit :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2(1+x^2) \big( 1+x^2 - 4 \big) = 0$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2(1+x^2) \big( x^2 - 3 \big) = 0$$
Donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2(1+x^2) \big( x^2 - \sqrt{3}^2 \big) = 0$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, x^2(1+x^2) \big( x - \sqrt{3} \big) \big( x + \sqrt{3} \big)= 0$$
Ce qui s'écrit aussi comme :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, (1+x^2) (x-0)^2 \big( x - \sqrt{3} \big) \big( x - (-\sqrt{3}) \big)= 0$$
Finalement, on constate alors que l'équation $$E$$ admet trois solutions qui sont :
$$\mathscr{S}_E = \left\lbrace \, -\sqrt{3} \,;\, 0 \,;\, \sqrt{3} \, \right\rbrace$$
Ceci se vérifie graphiquement :