Etudier la convergence de certaines séries classiques - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul. Soit $$x$$ un nombre réel. On a :
$$-1 \leqslant \sin(nx) \leqslant 1$$
D'où :
$$\left\vert \sin(nx) \right\vert \leqslant 1$$
Donc cela nous permet d'écrire que :
$$\left\vert \dfrac{\sin(nx)}{n^3 + x^2} \right\vert \leqslant \dfrac{1}{n^3 + x^2}$$
Comme $$x^2 \geqslant 0$$, on a alors :
$$\dfrac{1}{n^3 + x^2} \leqslant \dfrac{1}{n^3}$$
Ce qui nous permet d'affirmer que :
$$| \, f_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{n^3}$$
En outre, la série numérique $$\sum_{n =1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^3}$$ est une série de Riemann convergente. Ainsi, en vertu du critère de Weierstrass, on peut affirmer que la série $$\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x)$$ est normalement convergente.
En conclusion, la série de fonction $$S(x)$$ est normalement convergente sur $$\mathbb{R}$$.

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul. Soit $$x$$ un nombre réel positif non nul.
On pose :
$$u_n(x) = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^x}$$
On a :
$$\dfrac{1}{n^x} \geqslant \dfrac{1}{(n+1)^x}$$
Ce qui implique que :
$$|\, u_n(x) \,| \geqslant |\, u_{n+1}(x) \,|$$
Puis :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n^x} = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} |\, u_n(x) \,| = 0$$
En vertu du théorème des séries alternées, la série converge (donc est définie) sur l'intervalle $$\mathbb{R}^{+\star}$$.
De plus, on peut écrire que :
$$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^x} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k^x} + \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k^x}$$
Ainsi nous faisons clairement apparaître le reste, d'ordre $$n$$, $$R_n(x)$$ par :
$$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k^x}$$
On a alors :
$$R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k^x} = \dfrac{(-1)^{n+1-1}}{(n+1)^x} + \sum_{k=n+2}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k^x} = \dfrac{(-1)^{n}}{(n+1)^x} + \sum_{k=n+2}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k^x}$$
De fait, par l'alternance des signes des termes de $$R_n(x)$$, on a alors la majoration suivante :
$$0 \leqslant | \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{(n+1)^x}$$
Il est donc envisageable de majorer, également ce terme majorant, par un terme de forme Riemannienne. Soit $$b$$ un nombre réel, et on cherchera $$b$$ tel que :
$$0 \leqslant | \, R_n(x) \, | \leqslant \dfrac{1}{(n+1)^x} < \dfrac{1}{n^b}$$
L'intérêt étant que la quantité majorante, à savoir $$\dfrac{1}{n^b}$$, serait indépendante de $$x$$.
Soit $$\varepsilon >0$$. La condition $$| \, R_n(x) \, | < \varepsilon$$ implique alors :
$$\dfrac{1}{n^b} < \varepsilon$$
Donc :
$$\dfrac{1}{\varepsilon} < n^b$$
Ce qui nous permet d'obtenir, avec $$b > 0$$ :
$$\dfrac{1}{\sqrt[b]{\varepsilon}} < n$$
Donc, $$n > E\left( \dfrac{1}{\sqrt[b]{\varepsilon}}\right) + 1 \in \mathbb{N}$$. L'écriture $$E\left( \dfrac{1}{\sqrt[b]{\varepsilon}}\right)$$ représente la partie entière de la quantité $$\dfrac{1}{\sqrt[b]{\varepsilon}}$$.
De fait, on a alors :
$$\forall x > 0, \,\, \forall \varepsilon > 0, \,\, \forall n > E\left( \dfrac{1}{\sqrt[b]{\varepsilon}}\right) + 1, \,\, | \, R_n(x) \, | < \varepsilon$$
On remarque que la quantité entière $$E\left( \dfrac{1}{\sqrt[b]{\varepsilon}}\right) + 1$$ est indépendante du réel $$x$$.
Finalement, on vient de démontrer que la série $$S(x)$$ converge uniformément sur $$\mathbb{R}^{+ \star}$$.