▶Geˊneˊraliteˊs On désigne par K l'ensemble R ou C ou une partie de R ou C. Les éléments de K s'appellent des scalaires. ■Deˊfinitions On note par (an)n∈N une suite d'éléments de K. On appelle seˊrie de terme général an , le couple de suites ((an)n∈N;(sn)n∈N) où sn=i=1∑nai. La suite (sn)n∈N s'appelle la suite des somme partielles de la série de terme général an. On dit que la série converge sui la suite (sn)n∈N converge. Dans le cas contraire, on dit que la série diverge. Lorsque la série converge la quantité n⟶+∞limsn s'appelle la somme de cette série, et se note : n⟶+∞limsn=n=0∑+∞an − Bien souvent, pour des raisons de simplifications, on note i=0∑∞ai la série de terme général ai sans savoir si elle converge ou non. Conformément à cet usage, nous utiliserons cette notation. − Comme pour les suites, il est possible de modifier la définition d'une série en considérant des sommes du type n=n0∑∞an avec n0∈N⋆. Si une série i=0∑∞ai converge alors, ∀n∈N, la série Rn=i=n+1∑∞ai converge également, et on a alors n⟶+∞limRn=0. La série Rn s'appelle le reste d'ordre n de la série i=0∑∞ai. ■■Somme de seˊries Soient n=0∑∞an et n=0∑∞bn deux séries de nombres réels ou complexes. On désigne par λ un scalaire. On appelle somme des séries n=0∑∞an et n=0∑∞bn la série n=0∑∞(an+bn) Si les deux séries n=0∑∞an et n=0∑∞bn sont convergentes alors la série n=0∑∞(an+bn) est également convergente on a : n=0∑∞an+n=0∑∞bn=n=0∑∞(an+bn) ■■■Produit de seˊrie par un scalaire Soit n=0∑∞an une série de nombres réels ou complexes. On désigne par λ un scalaire. On appelle produit de la série n=0∑∞an par le scalaire λ la série n=0∑∞(λan) Si la série n=0∑∞an est convergente alors la série n=0∑∞(λan) est également convergente on a : n=0∑∞(λan)=λn=0∑∞an ■■■■Theˊoreˋme sur la convergence d’une seˊrie et la convergence d’une inteˊgrale Soit a un nombre entier naturel. Soit f:[a;+∞[⟶R une fonction numérique continue, positive et décroissante. Dans ce cas, l'intégrale ∫a+∞f(x)dx et la série n=a∑+∞f(n) sont de même nature. Ceci nous permet d'obtenir le théorème suivant relatif aux séries de Riemann n=1∑+∞nα1, avec α∈R. ■■■■■Theˊoreˋme sur la convergence des seˊries de Riemann La série de Riemann n=1∑+∞nα1 converge si et seulement si α>1.
■■■■■■Le criteˋre de Cauchy Ce critère donne une condition nécessaire et suffisante de convergence d'une série de termes réels ou complexes, sans qu'on en connaise sa limite. Il s'énonce ainsi : Soit n=0∑+∞an une série de nombres réels ou complexes. Cette série converge si et seulement si elle satisfait à l'assertion suivante : ∀ε>0,∃N∈N,p⩾N,q⩾p⟹∣∣i=p∑+∞ai∣∣<ε Les nombres réels ou complexes i=p∑+∞ai sont appelés les tranchesdeCauchy de la série. On a alors le corollaire suivant : le terme général d'une série convergente tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. ■■■■■■■Convergence abolue ▶Deˊfinition On dit que la série de terme général an est absolument convergente si la série de terme général ∣an∣ converge. De fait, toute seˊrie absolument convergente est convergente. La réciproque de ce résultat est fausse. Il suffit de considérer le cas de la série n=1∑+∞n(−1)n qui converge alors que la série (dite harmonique) n=1∑+∞n1 qui diverge. ■■■■■■■■Seˊrie geˊomeˊtrique ▶Deˊfinition Soit r un nombre complexe. La série géométrique de raison r est la série n=1∑+∞rn ▶Theˊoreˋme La série géométrique de raison r converge si et seulement si ∣r∣<1. Dans ce cas sa somme vaut 1−r1.
■■■■■■■■■Seˊrie semi-convergente Une série de terme général an est dite semi-convergente si la série converge mais ne converge pas absolument : n=0∑+∞an converge mais n=0∑+∞∣an∣ diverge.
Question 1
Quelques premiers exercices et exemples élémentaires pour apprendre les reflexes fondamentaux.
Montrer que la série n=0∑+∞(−1n) diverge.
Correction
Soit n∈N. On constate que le terme (−1)n est égal à 1 si n est pair et vaut (-1) si n est impair. De fait n⟶+∞lim(−1)n ne tend pas vers 0. On en déduit alors immédiatement que la série n=0∑+∞(−1n) ne peut pas être de nature convergente. En conclusion, la série n=0∑+∞(−1n) diverge.
Question 2
Soit n∈N. Etudier la nature de la série n=0∑+∞e−cos(n).
Correction
Soit n∈N. On sait que : ∀n∈N,−1⩽cos(n)⩽1 De fait, on a également : ∀n∈N,−1⩽−cos(n)⩽1 Ainsi, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, on en déduit alors que : ∀n∈N,e−1⩽e−cos(n) Donc, par passage à la limite lorsque n tend vers +∞, on obtient : n⟶+∞lime−1⩽n⟶+∞lime−cos(n) Soit : n⟶+∞lime1⩽n⟶+∞lime−cos(n) Soit encore : e1⩽n⟶+∞lime−cos(n) Ainsi, on peut écrire que : n⟶+∞lime−cos(n)>0 De fait n⟶+∞lime−cos(n) ne tend pas vers 0. On en déduit alors immédiatement que la série n=0∑+∞e−cos(n) ne peut pas être de nature convergente. En conclusion, la série n=0∑+∞e−cos(n) diverge.
Question 3
Soit n∈N⋆. Etudier la nature de la série harmonique n=1∑+∞n1.
Correction
Soit n∈N⋆. On désigne par (Sn)n∈N⋆ la suite des sommes partielles associées à la série harmonique. Soit p∈N⋆. On a alors : S2p−Sp=n=1∑2pn1−n=1∑pn1=n=p+1∑2pn1 Soit : S2p−Sp=n=p+1∑p+pn1 On constate que cette somme est constituée de p termes et que chacun de ses p terme est supérieur ou égal à p+p1=2p1. De fait, on en déduit alors que : S2p−Sp=n=p+1∑p+pn1⩾p×2p1. Soit encore : S2p−Sp⩾21. Si la suite (Sn)n∈N⋆ des sommes partielles était convergente vars la réel ℓ, alors il en serait de même pour la suite extraite (S2n)n∈N⋆. Et ainsi nous aurions p⟶+∞lim(S2p−Sp)=ℓ−ℓ=0. Or, dans la cas de la série harmonique étudiée, nous avons S2p−Sp⩾21 ce qui rend impossible d'avoir la relation p⟶+∞lim(S2p−Sp)=0. De fait il est possible d'affirmer que la série harmonique n=1∑+∞n1 ne converge pas. En conclusion, la série harmonique n=1∑+∞n1 diverge.