Exercices élémentaires - Exercice 1

Soit $$n \in \mathbb{N}$$. On constate que le terme $$(-1)^n$$ est égal à $$1$$ si $$n$$ est pair et vaut (-1) si $$n$$ est impair.
De fait $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} (-1)^n$$ ne tend pas vers $$0$$. On en déduit alors immédiatement que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1^n)$$ ne peut pas être de nature convergente.
En conclusion, la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1^n)$$ diverge.

Soit $$n \in \mathbb{N}$$. On sait que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1$$
De fait, on a également :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, -1 \leqslant -\cos(n) \leqslant 1$$
Ainsi, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$, on en déduit alors que :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, e^{-1} \leqslant e^{-\cos(n)}$$
Donc, par passage à la limite lorsque $$n$$ tend vers $$+ \infty$$, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-1} \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-\cos(n)}$$
Soit :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{e} \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-\cos(n)}$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{e} \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-\cos(n)}$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-\cos(n)} > 0$$
De fait $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-\cos(n)}$$ ne tend pas vers $$0$$. On en déduit alors immédiatement que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\cos(n)}$$ ne peut pas être de nature convergente.
En conclusion, la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\cos(n)}$$ diverge.

Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$.
On désigne par $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ la suite des sommes partielles associées à la série harmonique.
Soit $$p \in \mathbb{N}^\star$$. On a alors :
$$S_{2p} - S_p = \sum_{n=1}^{2p} \dfrac{1}{n} - \sum_{n=1}^{p} \dfrac{1}{n} = \sum_{n=p+1}^{2p} \dfrac{1}{n}$$
Soit :
$$S_{2p} - S_p = \sum_{n=p+1}^{p+p} \dfrac{1}{n}$$
On constate que cette somme est constituée de $$p$$ termes et que chacun de ses $$p$$ terme est supérieur ou égal à $$\dfrac{1}{p+p} = \dfrac{1}{2p}$$. De fait, on en déduit alors que :
$$S_{2p} - S_p = \sum_{n=p+1}^{p+p} \dfrac{1}{n} \geqslant p \times \dfrac{1}{2p}$$.
Soit encore :
$$S_{2p} - S_p\geqslant \dfrac{1}{2}$$.
$${\color{red}{\textbf{Si}}}$$ la suite $$(S_n)_{n \in \mathbb{N}^\star}$$ des sommes partielles était convergente vars la réel $$\ell$$, $${\color{red}{\textbf{alors}}}$$ il en serait de même pour la suite extraite $$(S_{2n})_{n \in \mathbb{N}^\star}$$. Et ainsi nous aurions $$\lim_{p \longrightarrow + \infty} (S_{2p} - S_p) = \ell - \ell = 0$$.
Or, dans la cas de la série harmonique étudiée, nous avons $$S_{2p} - S_p\geqslant \dfrac{1}{2}$$ ce qui rend $${\color{red}{\textbf{impossible}}}$$ d'avoir la relation $$\lim_{p \longrightarrow + \infty} (S_{2p} - S_p) = 0$$.
De fait il est possible d'affirmer que la série harmonique $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}$$ ne converge pas.
En conclusion, la série harmonique $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n}$$ diverge.