Exercice Entrainement 9 - Exercice 1

Appliquons le théorème de convergence des séries alternées. On a alors :
$$\blacklozenge \,\,$$ $$\textbf{Première étape : }$$
On a $$\forall n \in \mathbb{N}^*$$ :
$$2n + 1 > 2n-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2n+1} < \dfrac{1}{2n-1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2(n+1)-1} < \dfrac{1}{2n-1}$$
Soit encore :
$$\left| \dfrac{(-1)^{(n+1)+1}}{2(n+1)-1} \right| < \left| \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n-1} \right|$$
Donc :
$$\left| u_{n+1} \right| < \left| u_n \right|$$
$$\blacklozenge \blacklozenge \,\,$$ $$\textbf{Seconde étape : }$$
On a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left| u_n \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{2n-1} = 0$$
En conclusion, la théorème de convergence des séries alternées nous permet d'affirmer que la série numérique $$S_i$$ converge.

Afin de déterminer l'erreur maximale faite en approchant la série par ses neuf premiers termes, écrivons que :
$$S_i = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{2n-1} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{13} - \dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{17} - \boxed{\dfrac{1}{19}} + ...$$
Donc, l'erreur maximale faite sera donc, en valeur absolue, de $$\dfrac{1}{19}$$.