Exercice Entrainement 8 - Exercice 1

Soit $$n$$ un nombre entier naturel non nul et soit $$k$$ un nombre entier naturel non nul inférieur ou égal à $$n$$.
Nous allons poser :
$$u_n = \dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}} (3k-2) !}{3^n n!}$$
$$\blacktriangledown \,\,$$ $$\textbf{Première étape : le critère de d'Alembert}$$
Appliquons le critère de $$\textit{d'Alembert}$$. On a :
$$\left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \left| \dfrac{ \dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n+1}} (3k-2) !}{3^{n+1} (n+1)!} }{ \dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}} (3k-2) !}{3^n n!} } \right|= \left| \dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n+1}} (3k-2) !}{3^{n+1} (n+1)!} \times \dfrac{3^n n!}{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n} (3k-2) !}} \right| = \left| \dfrac{3(n+1)-2}{3(n+1)} \times \dfrac{1}{1} \right|$$
Soit :
$$\left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \dfrac{3n+1}{3n+3} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} = \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{3n+1}{3n+3} = 1$$
Le critère de $$\textit{d'Alembert}$$ est donc mis en échec.
$$\blacktriangledown \,\,$$ $$\textbf{Deuxième étape : le critère de Raabe-Duhamel}$$
Appliquons le critère de $$\textit{Raabe-Duhamel}$$. On a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( 1 - \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( 1 - \dfrac{3n+1}{3n+3} \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( \dfrac{3n+3}{3n+3} - \dfrac{3n+1}{3n+3} \right)$$
Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( 1 - \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( \dfrac{3n+3 -3n-1}{3n+3} \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( \dfrac{2}{3n+3} \right)$$
Ainsi :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( 1 - \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{2n}{3n+3} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{2}{3} \dfrac{n}{n}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}} = \dfrac{2}{3}$$
On constate alors que :
$$0 \leqslant \lim_{n \longrightarrow + \infty} n \left( 1 - \left| \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \right| \right) < 1$$
Donc, d'après le critère de $$\textit{Raabe-Duhamel}$$, on peut donc affirmer que la série numérique $$S_h$$ diverge.