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Séries numériques

Exercice Entrainement 7 - Exercice 1

30 min
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Soit α\alpha un nombre réel et n∈N⋆n \in \mathbb{N}^\star On désigne par kk un nombre entier naturel non nul et inférieur à nn.
Question 1

Étudier, en fonction du réel α\alpha, la nature de la série suivante : Sg=∑n=1+∞(∑k=1nknα)S_g = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}}}{n^\alpha} \right)

Correction
On a la comparaison somme-intégrale suivante :
∑k=1nk∼n⟶+∞∫1nk dk∼n⟶+∞23[k32]1n∼n⟶+∞23n32−23\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \int_{1}^{n} \sqrt{k} \, dk \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} [k^{\frac{3}{2}} ]_{1}^{n} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}- \dfrac{2}{3}
Soit :
∑k=1nk∼n⟶+∞23n32\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}
Ainsi :
∑k=1nk∼n⟶+∞23n−32\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3n^{-\frac{3}{2}}}
Donc, on peut écrire :
Sg=lim⁡B⟶+∞∑n=1B(∑k=1nknα)∼+∞lim⁡B⟶+∞∑n=1B23n−32nα∼+∞23lim⁡B⟶+∞∑n=1B1nα32S_g = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{B} \left( \dfrac{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}}}{n^\alpha} \right) \underset{+\infty}{\sim} \lim_{B \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{B} \dfrac{2}{3n^{-\frac{3}{2}}n^\alpha} \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{2}{3} \lim_{B \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{B} \dfrac{1}{n^{\alpha \frac{3}{2}}}
Par comparaison avec une Série de \textit{Riemann}, on doit avoir la condition de convergence suivante :
α−32>1     ⟺     α>1+32     ⟺     α>52\alpha -\frac{3}{2} > 1 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\alpha > 1 + \frac{3}{2} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\alpha > \frac{5}{2}
Donc la de la série SgS_g est convergente\textbf{convergente} uniquement si on a α>52\alpha > \dfrac{5}{2}.