Exercice Entrainement 5 - Exercice 1

Pour la série $$S_e$$, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \ln \left( \cos \left( \dfrac{1}{n}\right) \right)$$
En utilisant un développement limité au second ordre du cosinus on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \ln \left( \cos \left( \dfrac{1}{n}\right) \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \ln \left( 1 - \dfrac{1}{2n^2} + o \left( \dfrac{1}{n^2} \right) \right)$$
En utilisant maintenant un développement limité au second ordre du terme logarithmique $$\ln (1+X) = X + o(X)$$ on a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \ln \left( \cos \left( \dfrac{1}{n}\right) \right) =\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \left( - \dfrac{1}{2n^2} + o \left( \dfrac{1}{n^2} \right) \right)$$
Soit encore :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \ln \left( \cos \left( \dfrac{1}{n}\right) \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( - \dfrac{1}{2} + n^2 o \left( \dfrac{1}{n^2} \right) \right) = - \dfrac{1}{2}$$
Donc, en passant par l'absolue convergence, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \left| \ln \left( \cos \left( \dfrac{1}{n}\right) \right) \right| = \dfrac{1}{2}$$
Comme la puissance est $$2>1$$ et que le résultat est $$\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R}^+$$ alors la série $$S_d$$ est absolument convergente et de ce fait convergente.