Bac 2025

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Exercice Entrainement 4 - Exercice 1

20 min

Pour s'entrainer.

Question 1

Soit

n \in \mathbb{N}^\star

Déterminer la nature de la séries suivante : $S_d = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^2 \ln (n)}{e^n}$

Correction

Pour la série

S_d

, on a :

\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{n^2 \ln (n)}{e^n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n}

Or,

\forall n \in \mathbb{N}^*

, on a

n > \ln (n)

, ce qui implique que :

\dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} < \dfrac{n^5}{e^n}\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} < \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^5}{e^n} = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} = 0

Par croissances comparées, on a :

\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^5}{e^n} = 0 \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n^4 \ln (n)}{e^n} = 0

Ainsi :

\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \times \dfrac{n^2 \ln (n)}{e^n} = 0

Comme la puissance est

2>1

et que le résultat est

0 \in \mathbb{R}^+

alors la série

S_d

\textbf{converge}

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