Exercice Entrainement 3 - Exercice 1

Pour la série $$S_c$$, on a :
$$S_c = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left( \dfrac{(n+1) (n+2)}{n (n+3)} \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{n} \ln \left( \dfrac{(k+1) (k+2)}{k (k+3)} \right)$$
Soit encore :
$$S_c = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{n} \ln \left( \dfrac{\dfrac{k+1}{k+3}}{\dfrac{k}{k+2}}\right)$$
En faisant usage des propriétés des logarithmes, on a :
$$S_c =\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{n} \left[ \ln \left( \dfrac{k+1}{k+3}\right) - \ln \left( \dfrac{k}{k+2}\right) \right]$$
Soit encore :
$$S_c = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{n} \left[ \ln \left( \dfrac{k+1}{k+3}\right) - \ln \left( \dfrac{k+0}{k+2}\right) \right]$$
Par simplifications successives dans l'écriture des sommes, on a :
$$S_c = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left[ \ln \left( \dfrac{n+1}{n+3}\right) - \ln \left( \dfrac{1}{3} \right) \right]$$
Qui s'écrit comme :
$$S_c = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left[ \ln \left( \dfrac{n+1}{n+3}\right)\right] - \ln \left( \dfrac{1}{3} \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, S_c = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left[ \ln \left( \dfrac{n}{n} \right) \right] + \ln \left( 3 \right)$$
Ce qui nous donne :
$$S_c = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left[ \ln \left( 1 \right) \right] + \ln (3) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, S_c = \ln (3)$$
Donc la série $$S_c$$ $$\textbf{converge}$$ et sa somme vaut $$\ln (3)$$.