Exercice Entrainement 2 - Exercice 1

Pour la série $$S_b$$, on a :
$$S_b = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2 2^n}{n !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{k^2 2^k}{k !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(k^2 - k + k) 2^k}{k !} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(k(k - 1) + k) 2^k}{k !}$$
D'où :
$$S_b = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{k(k - 1) 2^k}{k !} + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ k 2^k}{k !}$$
Les deux premiers termes de la premières séries sont nulles, et le premier de la seconde série également. Ainsi, on peut écrire les changements d'indice suivant :
$$S_b = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \dfrac{k(k - 1) 2^k}{k !} + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{ k 2^k}{k !}$$
En simplifiant les factorielles, on trouve que :
$$S_b = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=2}^{n} \dfrac{2^k}{(k-2) !} + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{ 2^k}{(k-1) !}$$
Dans la première série, on pose $$K=k-2$$ ainsi $$K$$ débute à $$0$$, et $$k=K+2$$. Puis, dans la seconde série, posons $$\mathcal{K} = k-1$$ ainsi $$\mathcal{K}$$ débute à $$0$$ et $$k=\mathcal{K}+1$$. On trouve alors :
$$S_b = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{K=0}^{n} \dfrac{2^{K+2}}{K !} + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{\mathcal{K}=0}^{n} \dfrac{ 2^{\mathcal{K}+1}}{\mathcal{K} !}$$
D'où :
$$S_b = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{K=0}^{n} \dfrac{2^2 \times 2^K}{K !} + <br />\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{\mathcal{K}=0}^{n} \dfrac{ 2 \times 2^\mathcal{K}}{\mathcal{K} !}$$
Soit encore :
$$S_b = 4 \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{K=0}^{n} \dfrac{ 2^K}{K !} + 2 \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{\mathcal{K}=0}^{n} \dfrac{ 2^\mathcal{K}}{\mathcal{K} !}$$
Or, on sait que $$\forall x \in \mathbb{R}$$ :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sum_{i=0}^{n} \dfrac{ x^i}{i !} = e^x$$
Donc, on en déduit que :
$$S_b = 4 e^2 + 2 e^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, S_b = 6 e^2$$
Donc la série $$S_b$$ $$\textbf{converge}$$ et sa somme vaut $$6e^2$$.