Exercice Entrainement 12 - Exercice 1

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Question 1
Soit a∈R⋆a \in \mathbb{\mathbb{R}^\star}. Soit n∈N⋆n \in \mathbb{N}^\star

Étudier la convergence de la série suivante : Sk=∑n=1+∞1cosh⁡(an)n3S_k = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{\cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)^{n^3} }

Correction
Appliquons le critère de Cauchy\textit{Cauchy}. On a alors :
unn=1[cosh⁡(an)]n3n=1([cosh⁡(an)]n2)nn=1([cosh⁡(an)]n2)nn=1[cosh⁡(an)]n2\sqrt[n]{u_n} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{\left[ \cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)\right]^{n^3} }} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{\left( \left[ \cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)\right]^{n^2} \right)^n}} = \dfrac{1}{ \sqrt[n]{\left( \left[ \cosh\left( \dfrac{a}{n}\right)\right]^{n^2} \right)^n} } = \dfrac{1}{\left[ \cosh \left( \dfrac{a}{n} \right)\right]^{n^2}}
Soit encore :
unn=[cosh⁡(an)]−n2=eln⁡([cosh⁡(an)]−n2)=e−n2ln⁡[cosh⁡(an)]\sqrt[n]{u_n} = \left[ \cosh \left( \dfrac{a}{n} \right) \right]^{-{n^2}} = e^{\ln \left( \left[ \cosh \left( \frac{a}{n} \right) \right]^{-{n^2}}\right) } = e^{-n^2 \ln \left[ \cosh \left( \frac{a}{n} \right)\right] }
Puis, on a les équivalences suivantes :
cosh⁡(an)∼n⟶+∞1+12a2n2     ⟹     ln⁡[cosh⁡(an)]∼n⟶+∞ln⁡[1+a22n2]∼n⟶+∞a22n2\cosh \left( \frac{a}{n} \right) \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} 1 + \dfrac{1}{2}\frac{a^2}{n^2} \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, \ln \left[ \cosh \left( \frac{a}{n} \right)\right] \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim}\ln \left[ 1 + \frac{a^2}{2n^2} \right] \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} \frac{a^2}{2n^2}
De ceci, on trouve que :
unn∼n⟶+∞e−n2a22n2     ⟺     unn∼n⟶+∞e−a22\sqrt[n]{u_n} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} e^{-n^2 \frac{a^2}{2n^2} } \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \sqrt[n]{u_n} \underset{n\longrightarrow+\infty}{\sim} e^{-\frac{a^2}{2} }
Enfin, comme a∈R∗a \in \mathbb{\mathbb{R}^*}, alors a22>0\dfrac{a^2}{2} > 0, et de ce fait 0<e−a22<10< e^{-\frac{a^2}{2} } <1.
En conclusion, selon le critère de Cauchy, la série SkS_k converge.

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