Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.
Étudier la convergence absolue de la série suivante Sj=n=2∑+∞2nlnπ(n)(−1)n−1
Correction
Utilisons la convergence absolue. On a : n=2∑+∞∣∣nln2(n)(−1)n−1∣∣=n=2∑+∞nln2(n)1 Utilisons maintenant la comparaison avec l'intégrale impropre associée. On a alors : ∫2+∞xln2(x)1dx=b⟶+∞lim∫2bxln2(x)1dx=b⟶+∞lim∫2bln2(x)x1dx Ainsi : ∫2+∞xln2(x)1dx=−b⟶+∞lim∫2b−ln2(x)x1dx=−b⟶+∞lim[ln(x)1]2b D'où : ∫2+∞xln2(x)1dx=−b⟶+∞limln(b)1+ln(2)1=0+ln(2)1=ln(2)1 Donc l'intégrale impropre associée à la série des valeurs absolues converge. De ce fait la série des valeurs absolues converge et la série étudiée Sj est absolument convergente, donc automatiquement Sj est de nature convergente.