Exercice 9 - Exercice 1

Pour statuer sur la nature de cette série, nous allons appliquer la règle de Cauchy. A cet usage, nous allons poser $$u_n = \left( \dfrac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right)^{n^2}$$. Dans ce cas, on a :
$$\sqrt[n]{u_n} = \sqrt[n]{\left( \dfrac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right)^{n^2}} = \sqrt[n]{\left( \dfrac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right)^{n \times n}} = \sqrt[n]{ \left( \left( \dfrac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right)^{n}\right)^n}$$
Donc :
$$\sqrt[n]{u_n} = \left( \dfrac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right)^{n}$$
Afin d'éliminer la puissance $$n$$ encore présente, nous allons faire usage d'un logarithme népérien et de fait d'une exponentielle pour compenser l'introduction du logarithme népérien. On a alors :
$$\sqrt[n]{u_n} = e^{ \ln \left( \left( \frac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right)^{n} \right) } = e^{ n \ln \left( \frac{n^2-3n+1}{n^2+n+1} \right) }$$
Soit encore, en factorisant par $$n^2$$, puis en simplifiant par cette même quantité qui est une quantité non nulle, on obtient :
$$\sqrt[n]{u_n} = e^{ n \ln \left( \frac{n^2}{n^2} \times \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} \right) } = e^{ n \ln \left( \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} \right) }$$
En faisant usage des propriétés algébriques du logarithme népérien, on peut donc écrire que :
$$\sqrt[n]{u_n} = e^{ n \left( \ln \left( 1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2} \right) - \ln \left( 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right) \right) }$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient, au premier ordre en $$\dfrac{1}{n}$$ :
$$\sqrt[n]{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ n \left( -\frac{3}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) - \left( \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \right) } = e^{ n \left( -\frac{3}{n} -\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) }$$
Soit :
$$\sqrt[n]{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ n \left( -\frac{4}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) }$$
Soit encore :
$$\sqrt[n]{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ \left( -\frac{4n}{n} + o\left(\frac{n}{n}\right) \right) }$$
Ce qui nous donne :
$$\sqrt[n]{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ -4 + o(1) }$$
Ce qui implique que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \sqrt[n]{u_n} = e^{-4} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} \sqrt[n]{u_n} = \dfrac{1}{e^{4}}$$
On constate que la limite obtenue $$\dfrac{1}{e^{4}}$$ est inférieure à $$1$$. En vertu du critère de Cauchy, la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^{2n} \, (n!)^2}{(2n)!}$$ est de nature convergente.