Exercice 8 - Exercice 1

Pour statuer sur la nature de cette série, nous allons appliquer la règle de Raabe $$\&$$ Duhamel. A cet usage, nous allons poser $$u_n = \dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3^n \, n!}$$. Dans ce cas, on a le rapport suivant :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n+1}}(3k-2)}{3^{n+1} \, (n+1)!}}{\dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3^n \, n!}} = \dfrac{\dfrac{(3(n+1)-2)\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3^{n+1} \, (n+1) \times n!}}{\dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3^n \, n!}} = \dfrac{\dfrac{(3n+1)\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3 \times 3^n \times (n+1) \times n!}}{\dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3^n \, n!}}$$
Soit, après simplifications, on obtient :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{(3n+1)}{3 \times (n+1) }}{{1}{1}} \dfrac{(3n+1)}{3 \times (n+1) } = \dfrac{\dfrac{(3n+1)}{3 \times (n+1) }}{{1}{1}} = \dfrac{n+\dfrac{1}{3}}{ n+1 }$$
Soit encore, comme $$n$$ n'est pas nul :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{n}{n} \dfrac{1 + \dfrac{1}{3n}}{ 1 + \dfrac{1}{n} } = \dfrac{1 + \dfrac{1}{3n}}{ 1 + \dfrac{1}{n} }$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \left( 1 + \dfrac{1}{3n} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{-1}$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \left( 1 + \dfrac{1}{3n} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right)$$
En développant, au premier ordre en $$\dfrac{1}{n}$$, on obtient :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} 1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{3n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) = 1 - \dfrac{3}{3n} + \dfrac{1}{3n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Ainsi on a :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} 1 + \dfrac{1-3}{3n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) = 1 + \dfrac{-2}{3n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Donc :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} 1 - \dfrac{2}{3n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Que nous allons écrire sous la forme :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} 1 - \dfrac{{\color{red}{\dfrac{2}{3}}}}{n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)$$
Comme le coefficient $${\color{red}{\dfrac{2}{3}}}$$ est plus petit que $$1$$ alors la règle de Raabe $$\&$$ Duhamel permet d'affirmer que la série numérique $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}}(3k-2)}{3^n \, n!}$$ est de nature divergente.