Exercice 7 - Exercice 1

Nous allons faire usage du critère de d'Alembert. A cet usage introduisons la notation $$u_n = \dfrac{a^n \, (n!)^2}{(2n)!}$$. On a alors :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{a^{2(n+1)} \, ((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\dfrac{a^{2n} \, (n!)^2}{(2n)!}} = \dfrac{\dfrac{a^{2n+2} \times (n+1)^2 \times (n!)^2}{(2n+2)!}}{\dfrac{a^{2n}\, (n!)^2}{(2n)!}} = \dfrac{\dfrac{a^{2n} \times a^2 \times (n+1)^2 \times (n!)^2}{(2n+2)!}}{\dfrac{a^{2n}\, (n!)^2}{(2n)!}}$$
Soit :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{a^2 \times (n+1)^2}{(2n+2)!}}{\dfrac{1}{(2n)!}} = \dfrac{\dfrac{a^2 \times (n+1)^2}{(2n+2) \times (2n+1) \times (2n)!}}{\dfrac{1}{(2n)!}}$$
Soit encore :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{a^2 \times (n+1)^2}{(2n+2) \times (2n+1)}}{\dfrac{1}{1}} = \dfrac{a^2 \times (n+1) \times (n+1)}{2 \times (n+1) \times (2n+1)} = \dfrac{a^2 \times (n+1)}{2 \times (2n+1)}$$
Soit encore :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{a^2}{4} \dfrac{n+1}{n+\dfrac{1}{2}}$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \dfrac{a^2}{4} \dfrac{n+1}{n+\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{a^2}{4} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n+1}{n+\dfrac{1}{2}} = \dfrac{a^2}{4} \times 1$$
Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{a^2}{4}$$
En vertu du critère de d'Alembert, on peut donc affirmer que :
- si $$0 < a < 2$$ alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^{2n} \, (n!)^2}{(2n)!}$$ est de nature convergente.
- si $$a > e$$ alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^{2n} \, (n!)^2}{(2n)!}$$ est de nature divergente.
- si $$a = 2$$ alors on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^2}{4} \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n+1}{n+\dfrac{1}{2}} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}{n+\dfrac{1}{2}} = 1^+$$
Ainsi, si $$a = 2$$ alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^{2n} \, (n!)^2}{(2n)!}$$ est de nature divergente.