Exercice 6 - Exercice 1

Nous allons faire usage du critère de d'Alembert. A cet usage introduisons la notation $$u_n = \dfrac{a^n \, n!}{n^n}$$. On a alors :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{a^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{a^n \, n!}{n^n}} = \dfrac{\dfrac{a \times a^n \times (n+1) \times n!}{(n+1) \times (n+1)^n }}{\dfrac{a^n \, n!}{n^n}} = \dfrac{\dfrac{a}{(n+1)^n }}{\dfrac{1}{n^n}} = a \dfrac{n^n}{(n+1)^n}$$
Soit :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = a \left( \dfrac{n}{(n+1)} \right)^n = a \left( \dfrac{1}{\dfrac{n+1}{n}} \right)^n = a \left( \dfrac{1}{\dfrac{n}{n} + \dfrac{1}{n}} \right)^n = a \left( \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n$$
Soit encore :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = a \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{-n}$$
Afin de ne plus s'encombre de la puissance $$-n$$ on va introduire un logarithme népérien et de fait une exponentielle pour compenser. On a alors :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = a e^{\ln \left(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} \right) } = a e^{-n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) }$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} a e^{\ln \left(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} \right) } = a e^{-n \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left( \frac{1}{n^2} \right) \right) } = a e^{ \left( \frac{-n}{n} - \frac{-n}{2n^2} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) }$$
D'où :
$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} a e^{\ln \left(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} \right) } = a e^{ \left( -1 + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) }$$
De fait, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( a e^{ \left( -1 + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) } \right) = a \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{ \left( -1 + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) } = a \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{-1}$$
Comme la limite d'un nombre est ce nombre lui-même, on a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = a e^{-1} = \dfrac{a}{e}$$
En vertu du critère de d'Alembert, on peut donc affirmer que :
- si $$0 < a < e$$ alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^n \, n!}{n^n}$$ est de nature convergente.
- si $$a > e$$ alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^n \, n!}{n^n}$$ est de nature divergente.
- si $$a = e$$ alors on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = e \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{ \left( -1 + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) } = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^1 e^{ \left( -1 + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) } = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{ \left( 1-1 + \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) }$$
Donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty} e^{ \left( \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) } = e^{0^+} = 1^+$$
Ainsi, si $$a = e$$ alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a^n \, n!}{n^n}$$ est de nature divergente.