Exercice 5 - Exercice 1

On a, par hypothèse :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} (n^p \, u_n) =0$$
Donc la limite précédente permet d'affirmer que, lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, le terme $$u_n$$ est négligeable devant $$\dfrac{1}{n^p}$$ (pour faire tendre vers $$0$$ malgré la présence du terme $$n^p$$). On écrit ceci comme $$u_n = \underset{n \longrightarrow + \infty}{o} \left( \dfrac{1}{n^p} \right)$$.
Mais comme la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^p}$$ est convergente (car c'est une série de Riemann) alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$$ est elle même nécessairement convergente.

Soit $$n \in \mathbb{N}$$.
Par croissances comparées on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^3 e^{-n} = 0$$
Ceci s'écrit également :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( n^2 \times ne^{-n} \right) = 0$$
Ainsi, la limite précédente permet d'affirmer que, lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, le terme $$ne^{-n}$$ est négligeable devant $$\dfrac{1}{n^2}$$ (pour faire tendre vers $$0$$). On écrit que $$ne^{-n} = \underset{n \longrightarrow + \infty}{o} \left( \dfrac{1}{n^2} \right)$$.
Mais comme la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$ est convergente (car c'est une série de Riemann) alors la série $$S = \sum_{n=0}^{+\infty} n \, e^{-n}$$ est elle même convergente.