Exercice 3 - Exercice 1

Soit $$a$$ un nombre entier positif ou nul.
On sait que si $$f$$ est une fonction continue, positive et croissante sur l'intervalle $$[a \,;\, + \infty[$$ alors la série $$\sum_{n=a}^{+\infty} f(n)$$ et l'intégrale $$\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$$ sont de même nature.
On désigne par $$I$$ l'intégrale $$\int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln(x)} \, dx$$. On a alors :
$$I = \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln(x)} \, dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_{2}^{B} \dfrac{1}{x \ln(x)} \, dx = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_{2}^{B} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{\ln(x)} \, dx$$
On pose $$X = \ln(x)$$, et de fait $$\dfrac{dX}{dx} = \dfrac{d \ln(x)}{dx} = \dfrac{1}{x}$$. Ainsi on a $$dX = \dfrac{1}{x} dx$$. En outre, comme $$x$$ va de $$2$$ à $$B$$ on en déduit que $$X$$ va de $$\ln(2)$$ à $$\ln(B)$$. Ainsi :
$$I = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \int_{\ln(2)}^{\ln(B)} \dfrac{1}{X} \, dX = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ \ln(X) \right]_{\ln(2)}^{\ln(B)} = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left( \ln\big(\ln(B)\big) - \ln\big(\ln(2)\big) \right)$$
Soit :
$$I = - \ln\big(\ln(2)\big) + \lim_{B \longrightarrow + \infty} \ln\big(\ln(B)\big) = - \ln\big(\ln(2)\big) + \infty = + \infty$$
Ainsi, on vient de démontrer que l'intégrale $$I = \int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x \ln(x)} \, dx$$ est de nature divergente. De fait, il en va de même pour la série $$S = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n \ln(n)}$$.
La série $$S = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n \ln(n)}$$ est divergente.