Exercice 2 - Exercice 1

Sur l'intervalle $$[2 \,;\, + \infty[$$ on considère l'expression :
$$f(x) = \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a}$$
La fonction $$f$$, dont l'image est indiquée ci-avant, est décroissante sur l'intervalle $$[2 \,;\, + \infty[$$.
Soit $$k$$ un nombre entier naturel strictement supérieur à $$2$$. On a alors :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \dfrac{1}{ (k+1) \left( \ln(k+1) \right)^a} \leqslant \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \leqslant \dfrac{1}{ k \left( \ln(k) \right)^a}$$
Par intégration, sur $$x$$, de l'inégalité précédente entre $$k$$ et $$k+1$$ on obtient :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{ (k+1) \left( \ln(k+1) \right)^a} \, dx \leqslant \int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx \leqslant \int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{ k \left( \ln(k) \right)^a} \, dx$$
Soit :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \dfrac{1}{ (k+1) \left( \ln(k+1) \right)^a} \int_{k}^{k + 1} 1 \, dx \leqslant \int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx \leqslant \dfrac{1}{ k \left( \ln(k) \right)^a} \int_{k}^{k + 1} 1 \, dx$$
Comme $$\int_{k}^{k + 1} 1 \, dx = 1$$ on trouve que :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \dfrac{1}{ (k+1) \left( \ln(k+1) \right)^a} \leqslant \int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx \leqslant \dfrac{1}{ k \left( \ln(k) \right)^a}$$
On va maintenant sommer cette inégalité pour des valeurs de $$k$$ allant de $$2$$ à $$n-1$$. On a alors :
$$\sum_{k = 2}^{n-1} \dfrac{1}{ (k+1) \left( \ln(k+1) \right)^a} \leqslant \sum_{k = 2}^{n-1} \int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx \leqslant \sum_{k = 2}^{n-1} \dfrac{1}{ k \left( \ln(k) \right)^a}$$
Donc :
$$\sum_{k = 2}^{n-1} \dfrac{1}{ (k+1) \left( \ln(k+1) \right)^a} \leqslant \int_{2}^{n} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx \leqslant \sum_{k = 2}^{n-1} \dfrac{1}{ k \left( \ln(k) \right)^a}$$
On pose alors $$K = k +1$$ et de fait $$K$$ va de $$3$$ à $$n$$. Ainsi, on trouve que :
$$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a} \leqslant \int_{2}^{n} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx \leqslant \sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ (K-1) \left( \ln(K-1) \right)^a}$$
De plus, on a :
$$\int_{2}^{n} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx = \int_{2}^{n} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{ \left( \ln(x) \right)^a} \, dx$$
On pose alors $$X = \ln(x)$$. Dans ce cas on a $$\dfrac{dX}{dx} = \dfrac{d \ln(x)}{dx} = \dfrac{1}{x}$$ et de fait $$dX = \dfrac{1}{x} dx$$. En outre, comme $$x$$ va de $$2$$ à $$n$$ alors $$X$$ va de $$\ln(2)$$ à $$\ln(n)$$. On a donc :
$$\int_{2}^{n} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx = \int_{2}^{n} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{ \left( \ln(x) \right)^a} \, dx = \int_{\ln(2)}^{\ln(n)} \dfrac{1}{ X^a} \, dX = \left[ \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{X^{a-1}} \right]_{\ln(2)}^{\ln(n)} = \dfrac{1}{1-a} \times \left[ \dfrac{1}{X^{a-1}} \right]_{\ln(2)}^{\ln(n)}$$
Ainsi :
$$\int_{2}^{n} \dfrac{1}{ x \left( \ln(x) \right)^a} \, dx = \dfrac{1}{1-a} \times \left( \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} - \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}} \right) = \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} - \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}}$$
Ainsi, on peut donc écrire que :
$$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a} \leqslant \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} - \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}} \leqslant \sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ (K-1) \left( \ln(K-1) \right)^a}$$
En conservant uniquement la minoration, on trouve que :
$$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a} \leqslant \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} - \dfrac{1}{1-a} \times \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}}$$
Soit encore :
$$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a} \leqslant - \dfrac{1}{a-1} \times \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} + \dfrac{1}{a-1} \times \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}}$$
On constate que, $${\color{red}{\textbf{sous la condition} \,\ a>1}}$$, Le terme $$\dfrac{1}{a-1} \times \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} > 0$$ (car $$n$$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à $$2$$), et on a donc la majoration suivante :
$$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a} \leqslant - \dfrac{1}{a-1} \times \dfrac{1}{\ln(n)^{a-1}} + \dfrac{1}{a-1} \times \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}} \leqslant \dfrac{1}{a-1} \times \dfrac{1}{\ln(2)^{a-1}}$$
Donc la somme $$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a}$$ est majorée. De plus, cette somme $$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a}$$ est croissante car on ne fait qu'ajouter des quantités positives.
En conséquence la somme $$\sum_{K = 3}^{n} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a}$$ est convergente. Ceci implique que la série associée $$\sum_{K = 3}^{+\infty} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a}$$ est également convergente.
Ceci nous permet d'affirmer qu'il en est de même pour la série $$\dfrac{1}{ 2 \left( \ln(2) \right)^a} + \sum_{K = 3}^{+\infty} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a} = \sum_{K = 2}^{+\infty} \dfrac{1}{ K \left( \ln(K) \right)^a}$$.
En conclusion, $${\color{red}{\textbf{si} \,\ a>1}}$$ alors la série $$S = \sum_{n = 2}^{+\infty} \dfrac{1}{ n \left( \ln(n) \right)^a}$$ est de nature convergente.