Soit n un nombre entier naturel non nul. On rappelle un célèbre résultat (l'intégrale de Gauss) :B⟶+∞lim∫0Be−X2dX=2π
Étudier la nature de la série numérique S=n=1∑+∞((−1)n∫0ne−n2x2dx)
Correction
Nous allons faire usage du théorème spécial des séries alternées. A cet usage, posons un=(−1)n∫0ne−n2x2dx. Ainsi ∣un∣=∫0ne−n2x2dx puisque, par positivité de l'expression e−n2x2 sur l'intervalle [0;n], l'intégrale ∫0ne−n2x2dx est positive. Effectuons le changement de variable u=nx, dans ce cas on a dxdu=dxd(nx)=ndxd(x)=n×1=n. Ceci implique que du=ndx ou encore dx=n1du. De plus, lorsque x=0 on a u=0 et lorsque x=n on a u=n2. De fait, on a : ∫0ne−n2x2dx=∫0ne−(nx)2dx=∫0n2e−u2n1du=n1∫0n2e−u2du Or, on a : 0⩽∫0n2e−u2du⩽B⟶+∞lim∫0Be−u2du Ce qui nous donne, en reconnaissant l'intégrale de Gauss, l'inégalité suivante : 0⩽∫0n2e−u2du⩽2π Ainsi, on en déduit que : ∣un∣=∫0ne−n2x2dx⩽2nπ Par passage à la limite lorsque n⟶+∞, on obtient : n⟶+∞lim∣un∣⩽n⟶+∞lim2nπ Et comme n⟶+∞lim2nπ=0+ on en déduit alors que : n⟶+∞lim∣un∣=0+ Il nous faut maintenant démontrer la décroissance éventuelle de la suite (∣un∣)n∈N⋆. On a : ∣un∣=n1∫0n2e−u2du=f(n) avec, pour x non nul : f(x)=x1∫0x2e−u2du En dérivant par rapport à x, on obtient : f′(x)=(x1×∫0x2e−u2du)′=(x1)′×∫0x2e−u2du+x1×(∫0x2e−u2du)′ Ce qui nous donne : f′(x)=−x21×∫0x2e−u2du+x1×(∫0x2e−u2du)′ Puis, en notant par E(u) l'expression associée à une primitive de e−u2 on a : f′(x)=−x21×∫0x2e−u2du+x1×([E(u)]0x2)′ On a alors : f′(x)=−x21∫0x2e−u2du+x1(E(x2)−E(0))′ Comme la dérivation est une opération linéaire, on a alors : f′(x)=−x21∫0x2e−u2du+x1((E(x2))′−(E(0))′) Comme E(0) est une quantité constante réelle, sa dérivée est nulle : (E(0))′=0. On a alors : f′(x)=−x21∫0x2e−u2du+x1(E(x2))′ Par dérivation composée, on a : (E(x2))′=E′(x2)×(x2)′=e−x22×2x=e−x4×2x=2xe−x4 On en déduit alors que : f′(x)=−x21∫0x2e−u2du+x12xe−x4 Soit encore : f′(x)=−x21∫0x2e−u2du+x12xe−x4 Comme x est non nul, on a alors : f′(x)=−x21(∫0x2e−u2du−2x2e−x4) A l'aide des croissances comparées, on a : x⟶+∞limf′(x)=x⟶+∞lim(∫0x2e−u2du−2x2e−x4)=x⟶+∞lim∫0x2e−u2du=2π De fait, on trouve un équivalent de f′(x) lorsque x⟶+∞ qui est : f′(x)x⟶+∞∼−x212π<0 Ce qui nous permet d'afformer qu'il existe un certain nombre réel, non nul, r tel que : ∀x∈[r;+∞[,f′(x)<0 En conséquence la fonction f est décroissante sur l'intervalle [r;+∞[. Il s'ensuit que la suite (∣un∣)n>Ent(r)+1 (l'expression Ent désigne la partie entière) est monotone et décroissante. On peut donc affirmer que la série numérique S=n=1∑+∞((−1)n∫0ne−n2x2dx) satisfait aux hypothèses du théorème spécial des séries alternées. Finalement, la série numérique S=n=1∑+∞((−1)n∫0ne−n2x2dx) est de nature convergente.