Exercice 12 - Exercice 1

Effectuons un développement asymptotique lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$. A cette fin, posons $$u_n = \left( \dfrac{\ln(n)}{n} - 1 \right)^{n}$$. On a alors :
$$u_n = \left( \dfrac{\ln(n)}{n} - 1 \right)^{n} = \left( - \left( \dfrac{\ln(n)}{n} - 1 \right)^{n} \right) = (-1)^n \left( 1 - \dfrac{\ln(n)}{n} \right)^{n}$$
Soit :
$$u_n = (-1)^n e^{ \ln \left( \left( 1 - \frac{\ln(n)}{n} \right)^{n} \right)}$$
Soit encore :
$$u_n = (-1)^n e^{ n \ln \left( 1 - \frac{\ln(n)}{n} \right) }$$
De plus, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0$$
Donc par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient, au deuxième ordre en $$\dfrac{\ln(n)}{n}$$ :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} (-1)^n e^{ n \left( - \frac{\ln(n)}{n} - \frac{\ln^2(n)}{2n^2} + o\left( \frac{\ln^2(n)}{n^2} \right) \right)}$$
Donc :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} (-1)^n e^{ \left( - \ln(n) - \frac{\ln^2(n)}{2n} + o\left( \frac{\ln^2(n)}{n} \right) \right)}$$
Qui s'écrit également comme :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} (-1)^n e^{ \left( \ln\left( \frac{1}{n} \right) - \frac{\ln^2(n)}{2n} + o\left( \frac{\ln^2(n)}{n} \right) \right)}$$
De fait, on a donc :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} (-1)^n e^{ \ln\left( \frac{1}{n} \right) } e^{ \left( - \frac{\ln^2(n)}{2n} + o\left( \frac{\ln^2(n)}{n} \right) \right)}$$
D'où :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} (-1)^n \dfrac{1}{n} e^{ \left( - \frac{\ln^2(n)}{2n} + o\left( \frac{\ln^2(n)}{n} \right) \right)}$$
De plus, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \frac{\ln^2(n)}{2n} = 0^+$$
Ce qui nous permet d'obtenir l'équivalent suivant :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} (-1)^n \dfrac{1}{n}$$
Comme la série $$\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \dfrac{1}{n}$$ est de nature convergente, on peut donc affirmer que la série numérique $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{\ln(n)}{n} - 1 \right)^{n}$$ est également de nature convergente.