Exercice 11 - Exercice 1

Posons $$u_n = \left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} \right)^n$$.
Afin d'éliminer la puissance $$n$$ encore présente, nous allons faire usage d'un logarithme népérien et de fait d'une exponentielle pour compenser l'introduction du logarithme népérien. On a alors :
$$u_n = e^{ \ln\left( \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} \right)^n \right) } = e^{ n \ln\left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} \right) }$$
Comme par hypothèse $$n$$ un nombre entier naturel non nul, alors $$\sqrt{n}$$ est également une quantité non nulle. De fait, on va factoriser, puis simplifier par ce terme $$\sqrt{n}$$. On a alors :
$$u_n = e^{ n \ln \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \times \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} \right) } = e^{ n \ln \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} \right) }$$
Soit :
$$u_n = e^{ n \ln \left( \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{-1} \right) } = e^{ -n \ln \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) }$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient, au deuxième ordre en $$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$ :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ -n \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right)\right) }$$
Soit :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ \left( \frac{-n}{\sqrt{n}} - \frac{-n}{2n} + o\left( \frac{n}{n} \right)\right) }$$
Soit encore :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} e^{ -\sqrt{n} + \frac{1}{2} + o(1) }$$
Ce qui nous permet d'écrire, lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, l'équivalence suivante :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} e^{ -\sqrt{n} + \frac{1}{2} }$$
Ce qui s'écrit aussi comme :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} e^{ -\sqrt{n} } \, e^{ \frac{1}{2} }$$
Soit :
$$u_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{\sim} e^{ -\sqrt{n} } \, \sqrt{e}$$
On constate alors que :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \, u_n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( n^2 \, e^{ -\sqrt{n} } \, \sqrt{e} \right) = \sqrt{e} \lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \, e^{ -\sqrt{n} }$$
Par croissances comparées, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \, e^{ -\sqrt{n} } = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lim_{n \longrightarrow + \infty} n^2 \, u_n = 0$$
Ce résultat nous permet d'affirmer, qu'à partir d'un certain rang $$n$$, le terme $$u_n$$ est bornée selon :
$$0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n^2}$$
Comme la série $$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$ est une série de Riemann convergente, on en déduit (par comparaison) que $$\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$$ est également de nature convergente.
Filialement, on la série $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} + 1} \right)^n$$ est de nature convergente.