Exercice 1 - Exercice 1

Soit $$x >0$$. On pose alors $$f(x) = \dfrac{1}{x^2}$$.
Soit $$k$$ un nombre entier naturel non nul. Dans ce cas, on a :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \dfrac{1}{k^2} \geqslant \dfrac{1}{x^2} \geqslant \dfrac{1}{(k+1)^2}$$
Donc, en intégrant selon $$x$$ entre $$k$$ et $$k+1$$, on obtient :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{k^2} \, dx \geqslant \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{(k+1)^2} \, dx$$
Soit :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \dfrac{1}{k^2} \int_{k}^{k+1} 1 \, dx \geqslant \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \dfrac{1}{(k+1)^2} \int_{k}^{k+1} 1 \, dx$$
Comme $$\int_{k}^{k+1} 1 \, dx = 1$$ on obtient donc :
$$\forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \dfrac{1}{k^2} \geqslant \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \dfrac{1}{(k+1)^2}$$
Comme $$k \in \mathbb{N}^\star$$ on en déduit donc que l'on peut sommer sur cet entier. On a alors :
$$\forall k \in \mathbb{N}^\star, \,\, \forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k^2} \geqslant \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{(k+1)^2}$$
Soit :
$$\forall k \in \mathbb{N}^\star, \,\, \forall x \in [k \,;\, k+1], \,\, \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{k^2} \geqslant \int_{1}^{n} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{(k+1)^2}$$
En posant $$K = k + 1$$ on constate que, dans la dernière somme (la minoration) $$K$$ va de $$2$$ à $$n$$. Puis, dans la première somme (la majoration) $$K$$ va de $$2$$ à $$n$$ également. On a alors :
$$\sum_{K=2}^{n} \dfrac{1}{(K-1)^2} \geqslant \int_{1}^{n} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \sum_{K=2}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
Ceci peut également s'écrire comme :
$$\sum_{K=2}^{n} \dfrac{1}{(K-1)^2} \geqslant \int_{1}^{n} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \left( \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2} \right) - \dfrac{1}{1^2}$$
En ne conservant que la minoration, on trouve que :
$$\int_{1}^{n} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \left( \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2} \right) - 1$$
Soit encore :
$$1 + \int_{1}^{n} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
On a donc bien montré que la somme partielle d'ordre $$n$$ de la série $$S$$ est majorée par le terme $$1 + \int_1^n \dfrac{1}{x^2} \, dx$$

On a :
$$1 + \int_{1}^{n} \dfrac{1}{x^2} \, dx \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
Donc :
$$1 + \left[ - \dfrac{1}{x} \right]_{1}^{n} \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
Soit encore :
$$1 + \left[ \dfrac{1}{x} \right]_{n}^{1} \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
Ce qui nous donne :
$$1 + \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n} \right) \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
D'où :
$$1 + 1 - \dfrac{1}{n} \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
On trouve alors :
$$2 - \dfrac{1}{n} \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
Par hypothèse, $$n$$ est un nombre entier naturel non nul. Donc $$\dfrac{1}{n} > 0$$. Ainsi, on peut écrire que :
$$2 \geqslant 2 - \dfrac{1}{n} \geqslant \sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$
Comme la suite $$\sum_{K=1}^{n} \dfrac{1}{K^2}$$ est croissante et majorée par $$2$$ alors on peut affirmer qu'elle converge.
Ceci impose que la série $$\sum_{K=1}^{+\infty} \dfrac{1}{K^2}$$ converge également.
En conclusion la série $$S$$ est de nature convergente.